Thèse soutenue

La dynamique des difféomorphismes du cercle selon le point de vue de la mesure
FR  |  
EN
Accès à la thèse
Auteur / Autrice : Michele Triestino
Direction : Étienne Ghys
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 21/05/2014
Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
Jury : Président / Présidente : Livio Flaminio
Examinateurs / Examinatrices : Étienne Ghys, Livio Flaminio, François Béguin, Nicolas Curien, Grégory Miermont
Rapporteurs / Rapporteuses : François Béguin, Nicolas Curien

Résumé

FR  |  
EN

Les travaux de ma thèse s'articulent en trois parties distinctes.Dans la première partie j'étudie les mesures de Malliavin-Shavguldize sur les difféomorphismes du cercle et de l'intervalle. Il s'agit de mesures de type « Haar » pour ces groupes de dimension infinie : elles furent introduites il a une vingtaine d'années pour permettre une étude de leur théorie des représentations. Un premier chapitre est dédié à recueillir les résultats présents dans la littérature et et les représenter dans une forme plus étendue, avec un regard particulier sur les propriétés de quasi-invariance de ces mesures. Ensuite j'étudie de problèmes de nature plus dynamique : quelle est la dynamique qu'on doit s'attendre d'un difféomorphisme choisi uniformément par rapport à une mesure de Malliavin-Shavguldize ? Je démontre en particulier qu'il y a une forte présence des difféomorphismes de type Morse-Smale.La partie suivante vient de mon premier travail publié, obtenu en collaboration avec Andrés Navas. Inspirés d'un théorème récent de Avila et Kocsard sur l'unicité des distributions invariantes par un difféomorphisme lisse minimal du cercle, nous analysons le même problème en régularité faible, avec des argument plus géométriques.La dernière partie est constituée des résultats récemment obtenus avec Mikhail Khristoforov et Victor Kleptsyn. Nous abordons les problèmes reliés à la gravité quantique de Liouville en étudiant des espaces auto-similaires qui sont la limite de graphes finis. Nous démontrons qu'il est possible de trouver des distances aléatoires non-triviales sur ces espaces qui sont compatibles avec la structure auto-similaire.