Les D-modules arithmétiques dans le cas des p-bases et un algorithme pour le calcul de fonctions zêta

par David Pigeon

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Daniel Caro.

Soutenue en 2014

à Caen , dans le cadre de École doctorale structures, informations, matière et matériaux (Caen ; 1992-2016) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Bruno Deschamps.

Le jury était composé de Daniel Caro, Bruno Deschamps, Christine Huygue, Bernard Le Stum, Denis Simon, David Vauclair.

Les rapporteurs étaient Christine Huygue, Bernard Le Stum.

mots clés

• Théorie des nombres -- Thèses et écrits académiques
• Géométrie algébrique arithmétique -- Thèses et écrits académiques
• Cohomologie p-adique -- Thèses et écrits académiques
• Fonctions zêta -- Thèses et écrits académiques
• Algorithmes -- Thèses et écrits académiques

Résumé

La théorie des D-modules arithmétiques a été dévéloppée par Pierre Berthelot, sur des idées maîtresses de Mebkhout et Grothendieck qui avaient été les premiers à voir en les D-modules une nouvelle approche cohomologique. Le premier but de ma thèse était de généraliser les descriptions locales des D-modules arithmétiques dans le cas lisse, trouvées par Pierre Berthelot. Nous voulons intégrer des cas récents étudiés en particulier par Richard Crew où il étudie des schémas formellement lisses. Pour cela, nous généralisons la notion de relativement parfait aux cas des schémas formels et obtenons dans ce cadre une description analogue au cas lisse. Dans un second temps, nous donnons un algorithme qui permet de calculer la fonction zêta de certaines variétés qui sont l’extension d’une variété où l’on sait déjà calculer la fonction zêta.

Titre traduit

The arithmetic D-modules for formal schemes with p-bases and an algorithm which allows calculating the zeta function

Résumé

The theory of arithmetic D-modules was developed by Pierre Berthelot, based on the main ideas of Grothendieck and Mebkhout, who were the first to see the D-modules as a new cohomological approach. The primary aim of my thesis was to generalize the local descriptions of arithmetic D-modules in the smooth case, found by Pierre Berthelot. We want to integrate recent case studies, in particular from Richard Crew, where he studies formally smooth schemes. For that purpose, we generalize the notion of relatively perfect to the cases of formal schemes and obtain in this context a similar description to the smooth case. In a second step, we give an algorithm which allows calculating the zeta function of certain varieties, which are the extension of a variety that is already known to calculate the zeta function.