Calculs explicites en théorie d'Iwasawa

Explicit computing in Iwasawa theory

• Auteur / Autrice : Firmin Varescon
• Direction : Jean-Robert Belliard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 11/06/2014
• Etablissement(s) : Besançon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon
• Jury : Président / Présidente : Peter Stevenhagen
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Robert Belliard, Christophe Delaunay, Christian Maire, Stéphane Vinatier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Peter Stevenhagen, Xavier-François Roblot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres

Théorie d'Iwasawa

Mots clés libres

Théorie des nombres

Algorithmique

Théorie d'Iwasawa

Conjecture de Leopoldt

Conjecture de Greenberg

Number theory

Algorithmic

Iwasawa theory

Leopoldt's conjecture

Greenberg's conjecture

Résumé

Dans le premier chapitre de cette thèse on rappelle l'énoncé ainsi que des équivalents de la conjecture de Leopoldt puis l'on donne un algorithme permettant de vérifier cette conjecture pour un corps de nombre et premier donnés. Pour la suite on suppose cette conjecture vraie pour le premier p fixé Et on étudie la torsion du groupe de Galois de l'extension abélienne maximale p-ramifiée. On présente une méthode qui détermine effectivement les facteurs invariants de ce groupe fini. Dans le troisième chapitre on donne des résultats numériques que l'on interpréte via des heuristiques à la Cohen-Lenstra. Dans le quatrième chapitre, à l'aide de l'algorithme qui permet le calcul de ce module, on donne des exemples de corps et de premiers vérifiant la conjecture de Greenberg.

In the first chapter of this thesis we explain Leopoldt's conjecture and some equivalent formulations. Then we give an algorithm that checks this conjecture for a given prime p and a number field. Next we assume that this conjecture is true, and we study the torsion part of the Galois group of the maximal abelian p-ramified p-extension of a given number field. We present a method to compute the invariant factors of this finite group. In the third chapter we give an interpretation of our numrical result by heuristics “à la” Cohen-Lenstra. In the fourth and last chapter, using our algorithm which computes this torsion submodule, we give new examples of numbers fields which satisfy Greenberg's conjecture.