Two problems in nonlinear PDEs : existence in supercritical elliptic equations and symmetry for a hypo-elliptic operator

• Auteur / Autrice : Luis Fernando Lopez Rios
• Direction : Yannick Sire, Juan Dávila
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/01/2014
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Universidad de Chile
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Michel Roquejoffre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexander Quaas, Patricio A. Felmer, François Hamel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Giuseppe Mingione, Boyan Sirakov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles non linéaires

Opérateurs elliptiques

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Problèmes supercritique

Lyapunov-Schmidt réduction

Solutions régulières

Opérateurs hypo-Elliptiques

Transitions de phase non locales

Supercritical problems

Lyapunov-Schmidt reduction

Regular solutions

Hypo-Elliptic operators

Nonlocal phase transitions

Résumé

Le travail présenté est dédié à des problèmes d'EDP non linéaires. L'idée principale est de construire des solutions régulières á certaines EDPs elliptiques et hypo-elliptiques et étudier leur propriétés qualitatives. Dans une première partie, on considère un problème sur-critique du type -∆u=λe^u avec λ≻0 posé dans un domaine extérieur avec conditions de Dirichlet homogènes. Une réduction en dimension finie permet de prouver l'existence d'un nombre infini de solutions régulières quand λ est assez petit. Dans une deuxième partie, on étudie la concentration de solutions d'un problème non local (-∆)^{s}u=u^{p±ε}, u≻0, ε≻0 dans un domaine borné, régulier sous conditions de Dirichlet homogènes. Ici, on prend 0≺s≺1 et p:=(N+2s)/(N-2s), l'exposant de Sobolev critique. Une réduction en dimension finie dans des espaces fonctionnels bien choisis est utilisée. La partie principale de la fonction réduite est donnée en termes des fonctions de Green et Robin sur le domaine. On prouve que l'existence de solutions dépend des points critiques de la fonction susmentionnée augmentée d'une condition de non-dégénérescence. Enfin, on considère un problème non local dans le groupe de Heisenberg H. On s'intéresse à des propriétés de rigidité des solutions stables de -∆_H)^{s}v=f(v) sur H, s ∈ (0,1). Une inégalité de type Poincaré connectée à un problème dégénéré dans R⁴₊ est prouvée. Au travers d'une procédure d'extension, cette inégalité est utilisée pour donner un critère sous lequel les lignes de niveaux de la solution de l'EDP sont des surfaces minimales dans H.

This work is devoted to nonlinear PDEs. The aim is to find regular solutions to some elliptic and hypo-elliptic PDEs and study their qualitative properties. The first part deals with the supercritical problem -∆u=λe^u, λ≻0, in an exterior domain under zero Dirichlet condition. A finite-dimensional reduction scheme provides the existence of infinitely many regular solutions whenever λ is sufficiently small.The second part is focused on the existence of bubbling solutions for the non-local equation (-∆)^{s}u=u^{p±ε}, u≻0, ε≻0 in a bounded, smooth domain under zero Dirichlet condition; where 0≺s≺1 and p:=(N+2s)/(N-2s)±ε is close to the critical exponent (ε≻0 small). To this end, a finite-dimensional reduction scheme in suitable functional spaces is used, where the main part of the reduced function is given in terms of the Green's and Robin's functions of the domain. The existence of solutions depends on the existence of critical points of such a main term together with a non-degeneracy condition.In the third part, a non-local entire problem in the Heisenberg group H is studied. The main interests are rigidity properties for stable solutions of (-∆_H)^{s}v=f(v) in H, s ∈ (0,1). A Poincaré-type inequality in connection with a degenerate elliptic equation in R⁴₊ is provided. Through an extension (or "lifting") procedure, this inequality will be then used to give a criterion under which the level sets of the above solutions are minimal surfaces in H, i.e. they have vanishing mean H-curvature.