Etude qualitative de modèles dispersifs

par Mohamad Darwich

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Luc Molinet.

Soutenue le 25-06-2013

à Tours , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Jean Claude Saut.

Le jury était composé de Colette Guillopé, Laurent Veron.

Les rapporteurs étaient Thomas Duyckaerts, Sahbi Keraai.

mots clés

• Équations dispersives et dissipatives
• Existence locale et globale
• Espaces de Bourgain
• Mesures invariantes
• Dispersion (mathématiques)
• Équations dispersives non linéaires
• Invariants
• Théorèmes d'existence
• Schrödinger, Équation de
• Analyse dimensionnelle
• Cauchy, Problème de
• Modèles log-linéaires

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives des solutions de quelques équations d’ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans le premier chapitre, nous étudions l’explosion de solutions dans le régime log-log et l’existence globale pour le problème de Cauchy de l’équation de Schrödinger L2-critique amortie. Dans un second chapitre, nous considérons l’équation de Schrödinger L2-critique avec un amortissement non linéaire. Selon la puissance du terme d’amortissement, nous montrons l’existence globale ou l’explosion en régime log-log. Dans le troisième chapitre, nous étudions le problème de Cauchy pour l’équation de Kadomtsev-Petviashvili-Burgers-I (KPBI) en deux dimensions,nous montrons que le problème est localement bien posé dans Hs(R2) pour tout s > -½, et que l’existence est globale dans L2(R2) sans aucune condition sur la donnée initiale. Dans le dernier chapitre, nous considèrons l’équation d’Ostrovsky sur le cercle, et nous construisons des mesures invariantes par le flot selon les quantitées conservées par cette équation.

mots clés

• Dispersive and dissipative equation
• Local and global existence
• Bourgain’s spaces
• Invariants measures

Titre traduit

Qualitative study of dispersive models

Résumé

This thesis deals with the qualitative properties of solutions to some wave equations in dispersive or dispersive-dissipative media. In the first chapter, we study the blowup in the log-log regime and global existence of solutions to the Cauchy problem for the L2-critical damped nonlinear Schrödinger equation. In the second chapter, we consider the Cauchy problem for the L2-critical nonlinear Schrödinger equation with a nonlinear damping. According to the power of the damping term, we prove the global existence or the existence of finite time blowup dynamics with a log-log blow-up law. In the third chapter, we study the Cauchy problem for the Kadomtsev-Petviashvili-Burgers-I (KPBI) equations in two dimensions. We show that the problem is locally and globally well posed in Hs(R2) for any s > -½ , and that the existence is global in L2(R2) without any condition on the initial data. In the last chapter, we consider the Ostrovsky equation on the circle. We construct invariant measures under the flow for the conserved quantities of the equation.