Limites d'idéaux de fonctions holomorphes et de fonctions de Green pluricomplexes

par Quang Hai Duong

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Pascal Thomas et de Duc Thai Do.

Soutenue en 2013

à Toulouse 3 .

mots clés

• Fonction plurisousharmonique
• Fonction de Green pluricomplexe à plusieurs pôles
• Opérateur de Monge-Ampère complexe
• Disque analytique
• Idéaux de fonctions holomorphes
• Longueur d'un idéal
• Multiplicité de Hilbert-Samuel
• Fonctions holomorphes
• Green, Fonctions de
• Idéaux (algèbre)

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des limites d'idéaux de fonctions holomorphes et de fonctions de Green pluricomplexes sur un domaine ouvert connexe hyperconvexe borné qui contient l'origine dans C puissance n. Les idéaux concernés sont définis par l'annulation sur un nombre fini de points. Dans le premier chapitre, on introduit quelques notions élémentaires de théorie du potentiel en plusieurs variables complexes et la fonction de Green pluricomplexe à plusieurs pôles. Ensuite, on étudie la convergence de cette fonction à pôles logarithmiques simples dans le cas où le nombre de pôles est fini et tous les pôles tendent vers un seul point. Dans le deuxième chapitre, nous allons donner une méthode pour réduire la vérification de la convergence d'une famille des idéaux de fonctions holomorphes. Plus précisément, nous allons démontrer deux conditions nécessaires et suffisantes pour que la limite d'une famille des idéaux de fonctions holomorphes existe. Le troisième chapitre est consacré à l'étude de la limite de la fonction de Green pluricomplexe sur la base de 3 points distincts qui tendent vers l'origine dans le cas particulier où les limites de toutes les directions de droites qui passent par les deux points sont alignées. Nous allons commencer par étudier la limite de la famille des idéaux de fonctions holomorphes de même base, puis nous donnons quelques estimations pour la borne supérieure et la borne inférieure de la limite de la fonction de Green pluricomplexe. Finalement, en utilisant les notions de puissance des idéaux de fonctions holomorphes, nous introduisons une méthode de Rashkovskii-Thomas et recherchons la limite de la fonction de Green pluricomplexe dans ce cas-là. Dans le quatrième chapitre, nous allons étudier la convergence des fonctions de Green pluricomplexes à quatre pôles distincts qui tendent vers l'origine dans C au carré dans le cas générique. Ensuite, nous allons étudier la limite de la famille des idéaux de fonctions holomorphes basés, de même, sur quatre points, dans le cas dégénéré. Enfin, en utilisant la notion de puissance des idéaux de fonctions holomorphes et la méthode de Rashkovskii-Thomas, nous donnons quelques estimations pour la limite des fonctions de Green pluricomplexes dans un cas particulier.

Titre traduit

Limits of families of ideals of holomorphic functions and limits of pluricomplex green functions

Résumé

The aim of this thesis is to study the convergence of pluricomplex Green functions on a bounded hyperconvex domain in Cn, with a domaine ouvert connexe and the convergence of some families of ideals in the space ouvert connexe of all holomorphic functions on ouvert connexe. The zero variety of each those ideals, consisting of all common zeros of the holomorphic functions in the ideal, is a finite set. In the first chapter, we introduce some basic notions of potential theory in several complex variables and the pluricomplex Green function with simple logarithmic poles at finitely many points. Then, we study the convergence of these functions with simple logarithmic poles at finitely many points as the poles tend to a single point. In the second chapter, we give a method to reduce the verification of the convergence of a family of ideals of holomorphic functions. More precisely, we prove two necessary and sufficient conditions for the convergence of the family of ideals. The third chapter is devoted to the study of the convergence of pluricomplex Green functions based on three distinct poles in the particular case where all the poles tend to the origin along the same asymptotic direction. We begin by studying the limit of the family of ideals of holomorphic functions based on the same points, then we give some estimates for the upper and the lower limit of the pluricomplex Green functions. Finally, using the notion of powers of ideals of holomorphic functions, we introduce a method of Rashkovskii - Thomas and study the limit of the pluricomplex Green functions in this case. In the fourth chapter, we study the convergence of pluricomplex Green functions with simple logarithmic poles at four points as the poles tend to C² for the generic case. Then we study the limit of the family of ideals of holomorphic functions based on the same points for the degenerate case. Finally, using the notion of powers of ideals of holomorphic functions and the method of Rashkovskii - Thomas, we give some estimates for the limit of the pluricomplex Green functions for a particular case.