Thèse soutenue

Contribution à l'étude des équations de Boltzmann, Kac et Keller-Segel à l'aide d'équations différentielles stochastiques non linéaires
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Auteur / Autrice : David Godinho Pereira
Direction : Nicolas Fournier
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 25/11/2013
Etablissement(s) : Paris Est
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-2015)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
Jury : Président / Présidente : Arnaud Debussche
Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Fournier, Arnaud Guillin, Stéphane Mischler
Rapporteurs / Rapporteuses : Carl Graham, Florent Malrieu

Résumé

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L'objet de cette thèse est l'étude de l'asymptotique des collisions rasantes pour les équations de Kac et de Boltzmann ainsi que l'étude de la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique à l'aide d'équations différentielles stochastiques non linéaires. Le premier chapitre est consacré `a l'équation de Kac avec un potentiel Maxwellien. Nous commençons par donner une vitesse de convergence explicite (que l'on pense être optimale) dans le cadre de l'asymptotique des collisions rasantes. Puis nous approchons la solution de l'équation de Kac dans le cadre général, ce qui nous permet de montrer la propagation du chaos pour un système de particules vers cette dernière de manière quantitative. Dans le deuxième chapitre, nous étudions l'asymptotique des collisions rasantes pour l'équation de Boltzmann avec des potentiels mous et de Coulomb. Nous donnons là encore des vitesses de convergence explicites (mais non optimales).Enfin dans le troisième et dernier chapitre, nous montrons la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique. Pour cela, nous utilisons des arguments de compacité (tension du système de particules)