Contribution à l'analyse mathématique et à la résolution numérique d'un problème inverse de scattering élasto-acoustique

Contribution to the mathematical analysis and to the numerical solution of an inverse elasto-acoustic scattering problem

• Auteur / Autrice : Elodie Estecahandy
• Direction : Hélène Barucq
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 19/09/2013
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Newton, Méthode de

Éléments finis, Méthode des

Diffraction

Interaction fluide-structure

Mots clés libres

Interaction fluide-solide

Problème de diffraction

Fréquence de Jones

Inégalité de Gärding

Alternative de Fredholm

Espace de Sobolev à poids

Méthode de Galerkin discontinue

Méthode élément fini

Raffinement hp

Effet de pollution

Arêtes de frontière courbes

Factorisation LU

Différentiabilité au sens de Fréchet

Dérivée de domaine

Frontière Lipschitzienne

Théorème des fonctions implicites

Méthode de Newton

Régularisation de Tikhonov

Domaine étoilé

B-splines quadratiques

Fluid-solid interaction

Scattering problem

Jones frequency

Gärding's inequality

Fredholm alternative

Weighted Sobolev space

Discontinuous Galerkin method

Finite element method

Hp-refinement,

Pollution effect

Curved boundary edges

LU factorization

Fréchet differentiability

Domain derivative

Lipschitz boundary

Implicit function theorem

Newton method

Tikhonov regularization

Star domain

Quadratic B-splines.

Résumé

La détermination de la forme d'un obstacle élastique immergé dans un milieu fluide à partir de mesures du champ d'onde diffracté est un problème d'un vif intérêt dans de nombreux domaines tels que le sonar, l'exploration géophysique et l'imagerie médicale. A cause de son caractère non-linéaire et mal posé, ce problème inverse de l'obstacle (IOP) est très difficile à résoudre, particulièrement d'un point de vue numérique. De plus, son étude requiert la compréhension de la théorie du problème de diffraction direct (DP) associé, et la maîtrise des méthodes de résolution correspondantes. Le travail accompli ici se rapporte à l'analyse mathématique et numérique du DP élasto-acoustique et de l'IOP. En particulier, nous avons développé un code de simulation numérique performant pour la propagation des ondes associée à ce type de milieux, basé sur une méthode de type DG qui emploie des éléments finis d'ordre supérieur et des éléments courbes à l'interface afin de mieux représenter l'interaction fluide-structure, et nous l'appliquons à la reconstruction d'objets par la mise en oeuvre d'une méthode de Newton régularisée.

The determination of the shape of an elastic obstacle immersed in water from some measurements of the scattered field is an important problem in many technologies such as sonar, geophysical exploration, and medical imaging. This inverse obstacle problem (IOP) is very difficult to solve, especially from a numerical viewpoint, because of its nonlinear and ill-posed character. Moreover, its investigation requires the understanding of the theory for the associated direct scattering problem (DP), and the mastery of the corresponding numerical solution methods. The work accomplished here pertains to the mathematical and numerical analysis of the elasto-acoustic DP and of the IOP. More specifically, we have developed an efficient numerical simulation code for wave propagation associated to this type of media, based on a DG-type method using higher-order finite elements and curved edges at the interface to better represent the fluid-structure interaction, and we apply it to the reconstruction of objects with the implementation of a regularized Newton method.