Métriques de Kähler-Einstein singulières

par Henri Guenancia

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Sébastien Boucksom et de Mihai Păun.

Soutenue en 2013

à Paris 6 .

mots clés

• Structures kählériennes
• Espaces métriques
• Einstein, Variétés d'
• Coniques
• Stabilité

Résumé

In this thesis, the notion of Kähler-Einstein metric is central. After the pioneering works of Aubin and Yau (among others) who proved the existence of Kähler metrics with negative or zero Ricci curvature, mathematicians started to focus on various generalizations of these results. We will present two such aspects and an application in algebraic geometry. First, we will show the existence of Kähler-Einstein metrics with prescribed singularities (of cone or Poincaré type) along a simple normal crossing divisor. Then, we will construct Kähler-Einstein metrics on singular varieties and more precisely with semi-log canonical singularities (joint work with Robert Berman); we will further analyze the singularities of those metrics attached to Kawamata log terminal (klt) pairs on the log-smooth locus, which will make a connection with the first part. Finally, we will mention an application of those techniques to the semi-stability or generic semipositivity of the tangent sheaf of varieties with log canonical singularities.

Résumé

Dans cette thèse, la notion centrale est celle de métrique de Kähler-Einstein. \`A la suite des travaux fondateurs de Aubin et Yau (entre autres) résolvant le problème de l'existence de métrique kähleriennes à courbure de Ricci constante négative ou nulle, les mathématiciens se sont intéressés à diverses généralisations possibles de ces résultats. Nous en présenterons deux aspects ainsi qu'une application en géométrie algébrique. Tout d'abord, nous montrerons l'existence de métriques de Kähler-Einstein à singularités prescrites (de type coniques, ou Poincaré) le long d'un diviseur à croisement normaux. Ensuite, nous construirons des métriques de Kähler-Einstein sur des variétés singulières, à singularités semi-log canoniques (travail en commun avec Robert Berman); nous analyserons également les singularités de ces métriques associées à des paires Kawamata log terminales (klt) sur le lieu log-lisse, ce qui fera un lien avec la première partie. Enfin, nous mentionnerons une application de ces techniques à la semi-stabilité ou semipositivité générique du faisceau tangent de variétés à singularités log canoniques