Exact large deviations of the current in the asymmetric simple exclusion process with open boundaries

par Alexandre Lazarescu

Thèse de doctorat en Physique Theorique

Sous la direction de Kirone Mallick.

Soutenue en 2013

à Paris 6 .

mots clés

• Systèmes intégrables
• Physique statistique
• Grandes déviations

Titre traduit

Grandes déviations exactes pour le processus d'exclusion simple asymétrique avec des conditions de bords ouvertes

Résumé

Dans cette thèse, on considère un des modèles les plus étudiés en physique statistique hors équilibre : le processus d'exclusion simple asymétrique, qui décrit des particules se déplaçant stochastiquement sur un réseau unidimensionnel, entre deux réservoirs de densités fixées, avec la contrainte que chaque site ne peut porter qu'une particule à un instant donné. Ce modèle a la propriété mathématique d'être intégrable, ce qui en fait un bon candidat à une résolution exacte. Ce qui nous intétresse, en particulier, est de décrire le courant de particules qui traverse le système (ce qui est une caractéristique des systèmes hors équilibre) et comment ce dernier fluctue avec le temps. Nous présentons une méthode inspirée de l'Ansatz matriciel de Derrida, Evans, Hakim et Pasquier, qui nous permet d'obtenir une expression exacte des cumulants de ce courant, et ce pour une taille finie du système et quelle que soit la valeur de ses paramètres. Nous analysons également le comportement asymptotique de ce résultat à la limite d'un système de grande taille, et émettons une conjecture quant au diagramme de phase du système dans 'l'ensemble-s'. Enfin, nous montrons en quoi notre méthode est reliée à l'Ansatz de Bethe algébrique, que l'on pensait ne pas être appliquable à cette situation.

Résumé

In this thesis, we consider one of the most popular models of non-equilibrium statistical physics: the Asymmetric Simple Exclusion Process, in which particles jump stochastically on a one-dimensional lattice, between two reservoirs at fixed densities, with the constraint that each site can hold at most one particle at a given time. This model has the mathematical property of being integrable, which makes it a good candidate for exact calculations. What interests us in particular is the current of particles that flows through the system (which is a sign of it being out of equilibrium), and how it fluctuates with time. We present a method, based on the `matrix Ansatz' devised by Derrida, Evans, Hakim and Pasquier, that allows to access the exact cumulants of that current, for any finite size of the system and any value of its parameters. We also analyse the large size asymptotics of our result, and make a conjecture for the phase diagram of the system in the so-called `s-ensemble'. Finally, we show how our method relates to the algebraic Bethe Ansatz, which was thought not to be applicable to this situation.