Étude explicite de quelques n-champs géométriques

par Brahim Benzeghli

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Carlos Simpson.

Soutenue le 03-06-2013

à Nice , dans le cadre de École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice) , en partenariat avec Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) (laboratoire) et de Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné (laboratoire) .

Le président du jury était Gabriele Vezzosi.

Le jury était composé de Carlos Simpson, Gabriele Vezzosi, Bertrand Toën, Abdelkrim Aliouche, André Hirschowitz, Ludmil Katzarkov.


  • Résumé

    Dans [PRID], Pridham a montré que tout n-champs d'Artin M admet une présentation en tant que schéma simplicial X. → M, telle que le schéma simplicial X satisfait à certaines propriétés notées par G.Pn,k de [GROTH]. Dans la présentation (…→ X2 → X1 → X0 → M), le schéma X1 représente une carte pour X0 x MX0. Donc, la lissité de X0 → M est équivalente à la lissité des deux projections ә0,ә1 : X1 → X0. Ce sont les deux premières parties de la condition de Grothendieck-Pridham, notées G.P1,0 et G.P1,1. Dans [BENZ12] nous avons introduit un n-champ d'Artin M des éléments de Maurer-Cartan d'une dg-catégorie. On a construit une carte, et on a déjà fait la preuve des premières conditions de lissité explicitement. Pour tout n et tout 0 ≤ k ≤ n Pridham considère un schéma noté MatchΛkn(X) avec un morphisme Xn → MatchΛkn(X). On construira explicitement le schéma simplicial de Grothendieck-Pridham X, on montrera la lissité formelle de cette carte précédente, ainsi que M est un n-champ géométrique.

  • Titre traduit

    Non disponible


  • Résumé

    In [PRID], Pridham has shown that any Artin n-stack M has a presentation as a simplicial scheme X. → M such that the simplicial scheme X satisfies certain properties denoted G.Pn,k of [GROTH]. In the presentation (…→ X2 → X1 → X0 → M), the scheme X1 represents a chart for X0 x MX0. Thus, the smoothness of X0 → M is equivalent to the smoothness of the two projections ә0,ә1 : X1 → X0. These are the first two parts of the Grothendieck-Pridham condition, denoted G.P1,0 and G.P1,1. In [BENZ12] we introduced an Artin n-stack M of Maurer-Cartan elements of a dg-category. We constructed a chart, and have already proven the first smoothness conditions explicitly. For any n and any 0 ≤ k ≤ n Pridham considers a scheme denoted MatchΛkn(X) with a morphism Xn → MatchΛkn(X). We will construct explicitly the Grothendieck-Pridham simplicial scheme and show the smoothness of the preceding map, therefore M is a geometric n-stack.


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