Geometry and analysis of control-affine systems: motion planning, heat and Schrödinger evolution

par Dario Prandi

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Ugo Boscain.

Soutenue en 2013

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

mots clés

• Systèmes de commande avec dérive
• Géométrie sous-riemannienne
• Variétés riemanniennes singulières
• Complexité
• Planification des mouvements
• Équation de la chaleur
• Schrödinger, Équation de

Titre traduit

Géométrie et analyse des systèmes de commande avec dérive : planification des mouvements, évolution de la chaleur et de Schrödinger

Résumé

Cette thèse traite de deux problèmes qui ont leur origine dans la théorie du contrôle géométrique, et qui concernent les systèmes de contrôle avec dérive, c'est-à-dire de la forme \dot q= f_0(q)+\sum_{j=1}^m u_j f_j(q). Dans la première partie de la thèse, on généralise le concept de complexité de courbes non-admissibles, déjà bien compris pour les systèmes sous-riemanniens, au cas des systèmes de contrôle avec dérive, et on donne des estimations asymptotiques de ces quantités. Ensuite, dans la deuxième partie, on considère une famille de systèmes de contrôle sans dérive en dimension 2 et on s'intéresse à l'operateur de Laplace-Beltrami associé et à l'évolution de la chaleur et des particules quantiques qu'il définit. On étudie plus particulièrement l'effet qu'a l'ensemble où les champs de vecteurs contrôlés deviennent colinéaires sur ces évolutions.

Résumé

This thesis is dedicated to two problems arising from geometric control theory, regarding control-affine systems \dot q= f_0(q)+\sum_{j=1}^m u_j f_j(q), where f_0 is called the drift. In the first part we extend the concept of complexity of non-admissible trajectories, well understood for sub-Riemannian systems, to this more general case, and find asymptotic estimates. Then, in the second part of the thesis, we consider a family of 2-dimensional driftless control systems. For these, we study how the set where the control vector fields become collinear affects the evolution of the heat and of a quantum particle with respect to the associated Laplace-Beltrami operator.