Homogenization of complex flows in porous media and applications

• Auteur / Autrice : Harsha Hutridurga Ramaiah
• Direction : Grégoire Allaire
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matériaux poreux

Homogénéisation (équations différentielles)

Mots clés libres

Structures périodiques

Convergence à deux échelles

Tenseur de dispersion

Écoulements réactifs

Isothermes d'adsorption

Flux multiples espèces

Résumé

Ce travail est une contribution pour mieux comprendre le transport de solutés dans un milieu poreux. Ce phénomène se rencontre dans de nombreux domaines: transport de contaminants dans les eaux souterraines, séquestration du CO2, stockage souterrain des déchets nucléaires, simulations de réservoirs pétroliers. On obtient la dispersion effective de Taylor en tenant compte de la convection, de la diffusion, de la géométrie du milieu poreux et des réactions chimiques. Le but de la théorie d'homogénéisation est, à partir d'équations microscopiques, de dériver un modèle effectif à l'échelle macroscopique. Ici, on applique la méthode de convergence à deux échelles avec dérive pour arriver au comportement effectif. Dans un premier temps, on considère les réactions de type adsorption à la surface des pores. À l'échelle microscopique, le phénomène de transport est modélisé par des équations couplées de type advection-diffusion, une pour la concentration dans le fluide et l'autre pour la concentration à la surface de milieu poreux.  Le couplage est fait par les isothermes d'adsorption.  Le système microscopique avec des coefficients fortement oscillants est étudié dans un régime de forte convection i. E. , dans un régime de grand nombre de Péclet. La présence de forte convection dans le modèle microscopique se traduit par l'apparition d'une large dérive dans les profils de concentrations. On considère à la fois l'isotherme linéaire et l'isotherme non linéaire et les résultats ainsi obtenus sont comparés. Dans la deuxième partie, on généralise nos résultats concernant le transport réactif d'un seul soluté à ceux de plusieurs solutés dans un cadre linéaire. Dans ce cas, les paramètres effectifs sont obtenus en utilisant le principe de Factorisation et la convergence à deux échelles avec dérive. On étudie numériquement le comportement des paramètres effectifs par rapport au nombre de Péclet et au nombre de Damköhler. On utilise Freefem++ pour effectuer des tests numériques en dimension deux.

Our work is a contribution to the understanding of transport of solutes in a porous medium. It has applications in groundwater contaminant transport, CO2 sequestration, underground storage of nuclear waste, oil reservoir simulations. We derive expressions for the effective Taylor dispersion taking into account convection, diffusion, heterogeneous geometry of the porous medium and reaction phenomena. Microscopic phenomena at the pore scale are upscaled to obtain effective behaviour at the observation scale. Method of two-scale convergence with drift from the theory of homogenization is employed as an upscaling technique. In the first part of our work, we consider reactions of mass exchange type, adsorption/desorption, at the fluid-solid interface of the porous medium. Starting with coupled convection-diffusion equations for bulk and surface concentrations of a single solute, coupled via adsorption isotherms, at a microscopic scale we derive effective equations at the macroscopic scale. We consider the microscopic system with highly oscillating coefficients in a strong convection regime i. E. , large Péclet regime. The presence of strong convection in the microscopic model leads to the induction of a large drift in the concentration profiles. Both linear and nonlinear adsorption isotherms are considered and the results are compared. In the second part of our work we generalize our results on single component flow to multicomponent flow in a linear setting. In the latter case, the effective parameters are obtained using Factorization principle and two-scale convergence with drift. The behaviour of effective parameters with respect to Péclet number and Damköhler number are numerically studied. Freefem++ is used to perform numerical tests in two dimensions.