Arithmetic of pairings on algebraic curves for cryptography

• Auteur / Autrice : Aurore Guillevic
• Direction : Phong Q. Nguyen, Damien Vergnaud
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris, Ecole normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure. Département d'informatique (Paris ; 1985-....) - Laboratoire Chiffre (Gennevilliers, Hauts-de-Seine)
• Partenaire(s) de recherche : Entreprise : Thales Communications & Security
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Équipe de recherche Conception et analyse de systèmes pour la confidentialité et l'authentification de données et d'entités (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Joux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabien Laguillaumie, David Pointcheval, Benjamin Smith
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierrick Gaudry, Marc Joye, Reynald Lercier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Informatique

Mots clés libres

Courbes éliptiques

Courbes de genre 2

Endomorphismes

Couplages

Implémentation

Groupes d'ordre composé

Elliptic curves

Genus 2 curves

Endomorphisms

Pairings

Implementation

Composite-order groups

Résumé

Depuis 2000 les couplages sont devenus un très bon outil pour la conception de nouveaux protocoles cryptographiques. Les signatures courtes et le chiffrement basé sur l’identité sont devenus réalisables grâce aux couplages. Les travaux réalisés dans cette thèse comprennent deux aspects complémentaires. Une partie consiste en l’implémentation optimisée de couplages sur différentes courbes elliptiques, en fonction des protocoles visés. Une implémentation sur des courbes supersingulières en grande caractéristique et sur des courbes de Barreto-Naehrig est détaillée. La bibliothèque développée au Laboratoire Chiffre de Thales est utilisée avec des courbes de Barreto-Naehrig dans un protocole de diffusion chiffrée. La seconde application évalue la différence de temps de calcul pour des protocoles utilisant les couplages sur des courbes d’ordre composé (un large module RSA) et la traduction de ces protocoles qui utilise plusieurs couplages sur des courbes plus habituelles. Les résultats montrent une différence d’un facteur de 30 à 250 en fonction des étapes des protocoles, ce qui est très important. Une seconde partie porte sur deux familles de courbes de genre deux. Les jacobiennes de ces courbes sont isogènes au produit de deux courbes elliptiques sur une extension de corps de petit degré. Cette isogénie permet de transférer les propriétés des courbes elliptiques vers les jacobiennes. Le comptage de points est aisé et ne requiert qu’un comptage de points sur une des courbes elliptiques isogènes, plus quelques ajustements. On présente aussi la construction de deux endomorphismes à la fois sur les jacobiennes et sur les courbes elliptiques. Ces deux endomorphismes permettent des multiplications scalaires efficaces en suivant la méthode de Gallant, Lambert et Vanstone, ici en dimension quatre.

Since 2000 pairings became a very useful tool to design new protocols in cryptography. Short signatures and identity-based encryption became also practical thanks to these pairings. This thesis contains two parts. One part is about optimized pairing implementation on different ellip- tic curves according to the targeted protocol. Pairings are implemented on supersingular elliptic curves in large characteristic and on Barreto-Naehrig curves. The pairing library developed at Thales is used in a broadcast encryption scheme prototype. The prototype implements pairings over Barreto-Naehrig curves. Pairings over supersingular curves are much slower and have larger parameters. However these curves are interesting when implementing protocols which use composite-order elliptic curves (the group order is an RSA modulus). We implement two protocols that use pairings on composite-order groups and compare the benchmarks and the parameter size with their counterpart in a prime-order setting. The composite-order case is 30 up to 250 times much slower according to the considered step in the protocols: the efficiency difference in between the two cases is very important. A second part in this thesis is about two families of genus 2 curves. Their Jacobians are isogenous to the product of two elliptic curves over a small extension field. The properties of elliptic curves can be translated to the Jacobians thanks to this isogeny. Point counting is as easy as for elliptic curves in this case. We also construct two endomorphisms both on the Jacobians and the elliptic curves. These en- domorphisms can be used for scalar multiplication improved with a four-dimensional Gallant-Lambert- Vanstone method.