Thèse soutenue

Analyse complexe et problèmes de Dirichlet dans le plan : équation de Weinstein et autres conductivités non-bornées
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Auteur / Autrice : Slah Chaabi
Direction : Alexander BorichevLaurent Baratchart
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 02/12/2013
Etablissement(s) : Aix-Marseille
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
Jury : Président / Présidente : Sandrine Grellier
Examinateurs / Examinatrices : Franck Wielonsky, Emmanuel Russ
Rapporteurs / Rapporteuses : Roman Novikov, Jonathan Richard Partington

Résumé

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L'équation de Weinstein est une équation régissant les Potentiels à Symétrie Axiale (PSA) qui est Lm[u]=∆u+(m/x)∂ₓu=0, où m∈ℂ. On généralise des résultats connus pour ℝ au cas ℂ. On donne des expressions de solutions fondamentales des opérateurs Lm[u] et leurs estimations, on démontre une formule de Green pour les PSA dans le demi-plan droit H⁺ pour Re m≺1. On prouve un nouveau théorème de décomposition des PSA dans des anneaux quelconques pour ℂ et dans une géométrie annulaire particulière utilisant les coordonnées bipolaires, on prouve qu'une famille de solutions des PSA en termes de fonctions de Legendre Associées de 1re et 2de espèce est complète, on montre lorsque ℝ que celle-ci est une base de Riesz. Dans la 2e partie, par une méthode qui est due à A. S. Fokas, on donne des formules des PSA dans un disque de H⁺, avec Z. Ces représentations sont obtenues par la résolution d'un problème de Riemann-Hilbert sur ℂ ou sur une surface de Riemann à deux feuillets. Dans la 3e partie, on étudie les fonctions pseudo-holomorphes, {it i. e.} les solutions de l'équation ̄∂w=α ̄w, α ∈ L^r, 2 ≤ r ≺ ∞. Une nouvelle extension de la régularité du principe de similarité et une réciproque de celui-ci qui conduit à un paramétrage analytique de ces fonctions dans le cas critique r=2 ont été obtenues. On résoud un problème de Dirichlet à données L^p pondérées sur des domaines lisses pour des équations du type conductivité à coefficient dont le log appartient à l'espace de Sobolev W^{1,2}.