Etude de certains ensembles singuliers associés à une application polynomiale
Auteur / Autrice : | Thuy Nguyen thi bich |
Direction : | Jean-Paul Brasselet |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 30/09/2013 |
Etablissement(s) : | Aix-Marseille |
Ecole(s) doctorale(s) : | Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....) |
Jury : | Président / Présidente : Viet dung Nguyen |
Examinateurs / Examinatrices : Guillaume Valette, Anne Pichon, Krzysztof Kurdyka, David Trotman | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Ha huy Vui, Mutsuo Oka |
Mots clés
Résumé
Ce travail comporte deux parties dont la première concerne l'ensemble asymptotique S_F d'une application polynomiale F: ℂⁿ→ℂⁿ. Dans les année 90s, Jelonek a montré que cet ensemble est une variété algébrique complexe singulière de dimension (complexe) n-1. Nous donnons une méthode, appelée "méthode des façons", pour stratifier cet ensemble. Nous obtenons une stratification de Thom-Mather. Par ailleurs, il existe une stratification de Whitney de S_F telle que l'ensemble des fa{c c}ons possibles soit constant sur chaque strate. En utilisant les fa{c c}ons, nous donnons un algorithme pour expliciter l'ensemble asymptotique d'une application quadratique dominante en trois variables. Nous obtenons aussi une liste des ensembles asymptotiques possibles dans ce cas. La deuxième partie concerne l'ensemble V_F : En 2010, Anna et Guillaume Valette ont construit une pseudo-variété réelle V_F ⊂ R^{2n+p}, où p≻0, associée à une application polynomiale F: ℂⁿ→ℂⁿ. Dans le cas n=2, ils ont prouvé que si F est une application polynomiale de déterminant jacobien partout non nul, alors F n'est pas propre si et seulement si l'homologie d'intersection de V_F n'est pas triviale en dimension 2. Nous donnons une généralisation de ce résultat, dans le cas d'une application polynomiale F: ℂⁿ→ℂⁿ de jacobien partout non nul. Nous donnons aussi une méthode pour stratifier l'ensemble V_F. Comme applications, nous obtenons des stratifications de l'ensemble des valeurs critiques asymptotiques de F et de l'ensemble des points de bifurcation de F.