Etude de la construction effective des algorithmes de type chudnovsky pour la multiplication dans les corps finis

Study of effective construction of chudnovsky type algorithms for the multiplication in finite fields

• Auteur / Autrice : Milakulo Tukumuli
• Direction : Alexis Bonnecaze, Stéphane Ballet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 13/09/2013
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Serge Vladuts
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Robert Rolland, Stéphane Ballet, Reynald Lercier, Yves Aubry
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Augot, Ferruh Ozbudak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Fonctions algébriques

Corps finis

Mots clés libres

Rang de tenseur de la multiplication

Complexité bilinéaire

Algorithme de type Chudnovsky

Tensor rank of multiplication

Bilinear complexity

Chudnovsky type algorithm

Résumé

On s'intéresse dans cette thèse à la complexité bilinéaire de la multiplication dans toute extension de degré n d'un corps F_q à q éléments, qui est étroitement liée au rang de tenseur de la multiplication dans F_{q^n}. L'algorithme de type évaluation-interpolation, introduit par D.V et G.V Chudnovsky en 1987, est à la base des techniques algorithmiques fournissant actuellement les meilleures bornes uniformes et asymptotiques de la complexité bilinéaire. Pour obtenir ces meilleures bornes, la stratégie adoptée jusqu'à présent consistait à fixer le degré des places en augmentant le genre du corps de fonctions algébriques.Néanmoins, l'étude de la construction effective associée à ce type de stratégie fut jusqu'à présent négligée en raison d'un obstacle, lié à la construction du point de degré n, relevé par Shparlinski, Tsfasman et Vladut en 1992. On présente dans cette thèse une nouvelle stratégie qui consiste à fixer le genre du corps de fonctions algébriques tout en augmentant le degré des places.En appliquant cette stratégie aux corps de fonctions elliptiques, on montre d'une part que le rang de tenseur de la multiplication dans F_{q^n} est quasi-linéaire en n, et d'autre part que la construction des algorithmes de multiplications bilinéaires issus de cette stratégie est réalisable en temps polynomial. On montre également comment construire explicitement ces algorithmes sur F_{q^n}, en les illustrant par un exemple. Enfin, on établit la première construction asymétrique de l'algorithme de type Chudnovsky.

In this thesis, we focus on the bilinear complexity of multiplication in any degree n extension of the finite field F_q, which is closely related to the tensor rank of multiplication in F_{q^n}. The evaluation-interpolation type algorithm introduced by D.V and G.V Chudnovsky in 1987, is the basis of all algorithmic technique providing for now, the lower asymptotic and uniform bounds for the bilinear complexity.So far, the strategy to obtain these lower bounds was to fix the degree of places while increasing the genus of algebraic function fields. However, the study of the effective construction associated with this kind of strategy was until now neglected because of an obstacle related to the construction of a degree n point, identified par Shparlinski, Tsfasman and Vladut in 1992. We present a new strategy which consists in fixing the genus of algebraic function fields while increasing the degree of places. Applying this strategy to the elliptic function fields, we show on the one hand that the tensor rank of multiplication in F_{q^n} is quasi-linear in n, and on the other hand we prove that the construction of bilinear multiplication algorithms with this strategy is feasible in polynomial time. We also show how to construct explicitly these algorithms over F_{q^n} for large n by illustrating the construction with an example. Finally, we establish the first asymmetric construction of the Chudnovsky type algorithm.