Sur la contrôlabilité à zéro de problèmes d’évolution de type parabolique

On the null controllability of evolution problems of parabolic type

• Auteur / Autrice : Carole Julie Louis-Rose
• Direction : Gisèle Adélie Mophou Loudjom, Ousseynou Nakoulima
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/06/2013
• Etablissement(s) : Antilles-Guyane
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale pluridisciplinaire (Pointe-à-Pitre ; 1996-2015)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gisèle Adélie Mophou Loudjom, Ousseynou Nakoulima, Gaston Mandata N'Guerekata, Marius Tucsnak, Enrique Fernández-Cara, Jean-Pierre Puel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gaston Mandata N'Guerekata

Mots clés

Mots clés contrôlés

Carleman, Méthode de

Fonctions analytiques

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Contrôlabilité à zéro

Contrôlabilité simultane

Equation de la chaleur

Inégalité de Carleman

Système couplé

Null controllability

CSimultaneous controllability

Heat equation

Carleman's inequality

Coupled system

Résumé

Cette thèse a pour objet l'étude de la contrôlabilité à zéro de systèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques, que l'on rencontre en physique, chimie ou en biologie. En chimie ou en biologie, ces systèmes modélisent l'évolution au cours du temps d'une concentration chimique ou de la densité d'une population (de bactéries, de cellules). Le but de la contrôlabilité à zéro est d'amener la solution du système à l'état nul à un temps donné T, en agissant sur le système à l'aide d'un contrôle. Nous recherchons donc un contrôle, de norme minimale, tel que la solution associée y vérifie y(T)=O dans le domaine Omega considéré. Les problèmes de contrôlabilité à zéro considérés dans cette thèse sont de trois types. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la contrôlabilité à zéro avec un nombre fini de contraintes sur la dérivée normale de l'état, pour l'équation de la chaleur semi-linéaire. Puis, nous analysons la contrôlabilité simultanée à zéro avec contrainte sur le contrôle, pour un système linéaire de deux équations paraboliques couplées. Notre dernière étude concerne la contrôlabilité à zéro d'un système non linéaire de deux équations paraboliques couplées. Nous abordons ces problèmes de contrôlabilité principalement à l'aide d'inégalités de Carleman. En effet, l'étude des problèmes de contrôlabilité à zéro, et plus généralement de contrôlabilité exacte, peut se ramener à l'établissement d'inégalités d'observabilité pour le problème adjoint, conséquences d'inégalités de Carleman. Nous construisons le contrôle optimal en utilisant la méthode variationnelle et nous le caractérisons par un système d'optimalité

This thesis is devoted to the study of the null controllability of systems of parabolic partial differential equations, which we meet in physics, chemistry or in biology. In chemistry or in biology, the se systems model the evolution in time of a chemical concentration or the density of a population (of bacteria, cells). The aim of nu Il controllability is to lead the solution of the system to zero in a given time T, by acting on the system with a control. Thus we are looking for a control, of minimal norm, such as the associated solution y satisfies y(T)=O in the domain Omega under concern. We consider three types of null controllability problems in this thesis. At first, we are interested in the null controllability with afinite number of constraints on the normal derivative of the state, for the serni-Iinear heat equation. Then, we analyze the simultaneous null controllability with constraint on the control, for a linear system of two coupled parabolic equations. Our last study deals with the null controllability ofa non linear system oftwo coupled parabolic equations. We approach these controllability problems mainly by means of Carleman's inequalities. Indeed, the study of null controllability problems, and more generally exact controllability problems, is equivalent to obtain observability inequalities for the adjoint problem, consequences of Carleman's inequalities. We build the optimal controlusing the variationnal method and we characterize it by an optimality system