Trace au bord de solutions d'équations de hamilton-Jacobi elliptiques et trace initiale de solutions d'équations de la chaleur avec absorption sur-linéaire

Boundary trace of solutions to elliptic hamilton-Jacobi equations and initial trace of solutions to heat equations with super linear absorption

• Auteur / Autrice : Phuoc Tai Nguyen
• Direction : Laurent Véron, Michèle Grillot-Mousny
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/02/2012
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017)
• Jury : Président / Présidente : Frederic Weissler
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frederic Weissler, Philippe Souplet, Luc Molinet, Marie-Françoise Bidaut-Véron
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Souplet, Alessio Porretta, Matania Ben Artzi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Rayonnement thermique

Hamilton-Jacobi, Équations de

Formules de trace

Bessel, Fonctions de

Radon, Mesures de

Singularités (mathématiques)

Équations différentielles elliptiques quasilinéaires

Mots clés libres

Condition de Keller-Osserman

Equations de la chaleur dégénérées

Quasilinear elliptic equations

Isolated singularities

Radon mesures

Borel measures

Bessel capacities

Boundary trace

Weakly superlinear absorption

Initial trace

Keller-Osserman condition

Degenerate heat equations

Résumé

Cette thèse est constituée de trois parties. Dans la première partie, on s’intéresse au problème de trace au bord d’une solution positive de l’équation (E1) - Δu + g(∇u) = 0 dans un domaine borné Ω. Si g(r) ≥ rq avec q > 1, on prouve que toute solution positive de (E1)admet une trace au bord considérée comme une mesure de Borel régulière. Si g(r) = rq avec1 < q < qc = N+1/N , on montre l’existence d’une solution positive dont la trace au bord est une mesure de Borel régulière. Si g(r) = rq avec qc ≤ q < 2, on établit une condition nécessaire de résolution en terme de capacité de Bessel C2-q/q ,q’ . On étudie aussi des ensembles éliminables au bord pour des solutions modérées et sigma-modérées. La deuxième partie est consacrée à étudier la limite, lorsque k → ∞, de solutions d’équation ∂tu - Δu + f(u) = 0 dans ℝN × (0,∞) avec donnée initiale kδ0. On prouve qu’il existe essentiellement trois types de comportement possible et démontre un résultat général d’existence de trace initiale et quelques résultats d’unicité et de non-unicité de solutions dont la donnée initiale n’est pas bornée. Dans la troisième partie, on considère l’équation ∂tu - Δu + f(u) = 0 dans ℝN × (0,∞) où p > 1. Si p > 2N/N+1, on fournit une condition suffisante portant sur f pour l’existence et l’unicité des solutions fondamentales et on étudie la limite lorsque k → ∞. On donne aussi de nouveaux résultats de non-unicité de solutions avec donnée initiale non bornée. Si p ≥ 2, on prouve que toute solution positive admet une trace initiale dans la classe des mesures de Borel régulières positives. Finalement on applique les résultats ci-dessus au cas f(u) = uα lnβ(u + 1) avec α,β > 0.

This thesis is divided into three parts. In the first part, we study the boundary trace of positive solutions of the equation (E1) - Δu + g(∇u) = 0 in a bounded domain . When g(r) ≥ rq with q > 1, we prove that any positive function of (E1) admits a boundary trace which is an outer regular Borel measure. When g(r) ≥ rq with 1 < q < qc = N+1/N, we prove the existence of a positive solution with a general outer regular Borel measure as boundary trace.When g(r) ≥ rq with qc ≤ q < 2, we establish a necessary condition for solvability in term of the Bessel capacity C2-q/q ,q’ . We also study boundary removable sets for moderate and sigma-moderate solutions. The second part is devoted to investigate the limit, when k → ∞, of the solutions of ∂tu - Δu + f(u) = 0 in ℝN × (0,∞) with initial data kδ0. We prove that there exist essentially three types of possible behaviour and provide a new and more general construction of the initial trace and some uniqueness and non-uniqueness results for solutions with unbounded initial data. In the third part, we consider the equation ∂tu - Δu + f(u) = 0 in ℝN × (0,∞) where p > 1. If p > 2N/N+1we provide a sufficient condition on f for existence and uniqueness of the fundamental solutions and we study their limit when k → ∞. We also give new results dealing with non uniqueness for the initial value problem with unbounded initial data. If p ≥ 2, we prove that any positive solution admits an initial trace in the class of positive Borel measures. Finally we apply the above results to the case f(u) = uα lnβ(u + 1) with α,β > 0.