Géométrie non-commutative et calcul pseudodifférentiel sur les variétés à coins fibrés

par Laurent Guillaume

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Bertrand Monthubert.

Soutenue en 2012

à Toulouse 3 .

mots clés

• Géométrie non-commutative
• Groupoïdes
• Théorie de l'indice
• Variétés à coins fibrés
• Pseudo-variétés stratifiées
• Calcul pseudodifférentiel
• B-calcul
• Phi-calcul
• Géométrie différentielle non commutative
• Opérateurs pseudo-différentiels
• Groupoïdes

Résumé

On utilise les outils de la géométrie non-commutative pour étudier la théorie de l'indice de certaines variétés singulières. On associe à toute variété à bord feuilleté, puis à toute variété à coins fibrés un groupoïde d'éclatement longitudinalement lisse. On montre ensuite dans le cas fibré que le calcul pseudodifférentiel à support compact associé coïncide avec le phi-calcul de Melrose et l'on introduit une algèbre étendue d'opérateurs régularisants dont on montre la stabilité par calcul fonctionnel holomorphe. On définit sur ce calcul étendu certains éléments de cohomologie cyclique relative intervenant dans la formulation de problèmes d'indice supérieurs. Enfin on montre que le groupoïde d'éclatement construit dans ce travail possède une signification géométrique naturelle en tant que groupoïde d'holonomie de feuilletage singulier, il s'agit d'un exemple explicite d'espace de feuilles singulier au sens de Androulidakis et Skandalis. Ce résultat nous permet d'obtenir une interprétation conceptuelle du phi-calcul comme calcul pseudodifférentiel associé au groupoïde d'holonomie du feuilletage singulier défini par la variété à bord fibré.

Titre traduit

Noncommutative geometry and pseudodifferential calculus on manifolds with fibred corners

Résumé

Tools from noncommutative geometry are used to study the index theory of some singular manifolds. We associate to every manifold with foliated boundary, then to every manifold with fibred corners a longitudinally smooth groupoid. We then show in the fibred case that the associated compactly supported pseudodifferential calculus coincides with Melrose's phi-calculus and we introduce an extended algebra of smoothing operators that is shown to be stable under holomorphic functional calculus. Some elements of relative cyclic cohomology arising in higher index problems are defined over this extended algebra. Finally we show that the groupoid we built has a natural geometric meaning as a holonomy groupoid of singular foliation, it is an explicit example of a singular leaf space in the sense of Androulidakis and Skandalis. This result allows the conceptual interpretation of phi-calculus as the pseudodifferential calculus associated with the holonomy groupoid of the singular foliation defined by the manifold with fibred boundary.