Connexions plates logarithmiques de rang deux sur le plan projectif complexe

Rank two flat logarithmic connections on the complex projective plane

• Auteur / Autrice : Gaël Cousin
• Direction : Frank Loray
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Feuilletages (mathématiques)

Connexions (mathématiques)

Résumé

Dans cette thèse on étudie les propriétés des connexions plates logarithmiques de rang 2 et leurs projectifiés qui sont des feuilletages de Riccati, principalement sur le plan projectif. L'invariant principal d'un tel objet est sa représentation de monodromie, qui est une représentation vers SL₂(C) ou PSL₂(C) du groupe fondamental du complémentaire de son lieu polaire. Dans un premier temps, on  étudie la propriété, pour un feuilletage de Riccati sur P₂, d'être obtenu en tirant un en arrière un feuilletage de Riccati au dessus d'une courbe. Ensuite on s'intéresse aux feuilletages de Riccati qui ne sont pas construits de cette manière et qui peuvent être obtenus à partir d'une solution algébrique de l'équation de Painlevé VI. Nous les classons par orbites sous le groupe de Galois absolu de Q. Finalement, on s'intéresse aux feuilletages transversalement projectifs : ces feuilletages s'obtiennent par restriction de feuilletages de Riccati à des sections de leurs P₁-fibrés sous-jacents. On s'intéresse particulièrement aux feuilletages modulaires de Hilbert, dont on décrit assez finement la structure transverse. On conclut notre travail par l'exhibition de modèles birationnels sur P₂ pour certains feuilletages modulaires de Hilbert.

In this thesis we study the properties of flat rank 2 logarithmic connections and their projectivized version which are Riccati foliations, mainly on the projective plane. The main invariant of such an object is its monodromy represention, which is a representation to SL₂(C) or PSL₂(C) of the fundamental group of the complement of its polar locus. First, we investigate the property for Riccati foliations to be obtained as pull-backs of Riccati foliations over curves. Then, we study the Riccati foliations that cannot be obtained in this way but can be constructed from an algebraic solution of Painlevé VI equation. We classify them with respect to an action of the absolute Galois group of Q. Finally, we study transversely projective foliations: these foliations are obtained by restricting Riccati foliations to sections of their underlying P1-bundle. We have a particular interest in Hilbert modular foliations, the transverse structure of which we give a quite complete description. As a conclusion, we exhibit birational models on P₂ for some Hilbert modular foliations.