Finite volume schemes for anisotropic and heterogeneous diffusion operators on non-conforming meshes

par Thanh Hai Ong

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Robert Eymard.

Soutenue le 13-11-2012

à Paris Est , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-2015) , en partenariat avec Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (laboratoire) et de LAMA (laboratoire) .

Le président du jury était François Bouchut.

Le jury était composé de Robert Eymard, Christophe Le Potier, Raphaèle Herbin.

Les rapporteurs étaient Boris P. Andreianov, Daniele Antonio Di Pietro, Bruno Després.

mots clés

• Analyse numérique
• Volumes finis
• Maillages non-conformes
• Analyse numérique
• Volumes finis, Méthodes de
• Grilles (analyse numérique)

Titre traduit

Schémas volumes finis pour des opérateurs de diffusion anisotropes hétérogènes sur des maillages non-conformes

Résumé

Nous présentons de nouveaux schémas numériques pour l'approximation de problèmes de diffusion hétérogène et anisotrope sur des maillages généraux. Sous des hypothèses correspondant aux cas industriels, nous montrons qu'un premier schéma, qui est centré sur les mailles, possède un petit stencil et converge dans le cas de tenseurs discontinus. La preuve de la convergence repose sur des propriétés de consistance des gradients discrets issus du schéma. Dans une seconde partie, nous proposons des méthodes de correction non linéaire du schéma initial pour obtenir le principe du maximum. L'efficacité de ces schémas est étudiée sur des tests numériques ayant fait l'objet de bancs d'essais d'une grande variété de schémas de volumes finis. Les comparaisons avec les schémas volumes finis classiques montrent l'apport de ces schémas en termes de précision. Nous montrons ainsi le bon comportement de ces schémas sur des maillages déformés, et le maintien de la précision des schémas non-linéaires, alors que les oscillations ont été supprimées

mots clés

• Numerical analysis
• Finite volume
• Non-conforming meshes

Résumé

We present a new scheme for the discretization of heterogeneous anisotropic diffusion problems on general meshes. With light assumptions, we show that the algorithm can be written as a cell-centered scheme with a small stencil and that it is convergent for discontinuous tensors. The key point of the proof consists in showing both the strong and the weak consistency of the method. Besides, we study non-linear corrections to correct the FECC scheme, in order to satisfy the discrete maximum principle (DMP).The efficiency of the scheme is demonstrated through numerical tests of the 5th & 6th International Symposium on Finite Volumes for Complex Applications - FVCA 5 & 6. Moreover, the comparison with classical finite volume schemes emphasizes the precision of the method. We also show the good behaviour of the algorithm for nonconforming meshes. In addition, we give some numerical tests to check the existence for the non-linear FECC schemes