Deformation and construction of minimal surfaces - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Deformation and construction of minimal surfaces

Déformation et construction de surfaces minimales

Résumé

This thesis is devoted to the construction of numerous examples of minimal surfaces (or hypersurfaces) in the 3-Euclidean space, R^n x R with n≻2 or in the homogeneous space S² x R . We prove the existence of minimal surfaces in R³ as close as we want of a convex polygon. We prove the existence of minimal hypersurfaces in R^n x R, n≻2, whose have Riemann's type. These ones could be considered as a family of horizontal hyperplanes (the ends) which are linked to each other by pieces of deformed catenoids (the necks). We provide a general result in the case simply-periodic together with the case of a finite number of hyperplanar ends. Our construction lies on some conditions associates with the forces that characterize the different configurations. We end with giving some examples ; in particular, we exhibit the existence of vertical Wei example that does not exists in the 3-dimensional case. We also prove the existence of the analogous of the Wei example in S² x R. The surface is such that two spherical ends are linked by 1 neck and 2 necks alternatively. Here again, we highlight the role that the forces play in the construction. Moreover, like in the previous chapter, the method lies on a gluing process. We give an accurate description of the catenoid and the Riemann's minimal example in S² x R. Finally, we demonstrate the existence of Scherk type hypersurfaces in R^n x R when n≻2
L'objet de cette thèse consiste en la construction de nouveaux exemples de surfaces (ou hypersurfaces) minimales dans les espaces euclidiens R³, R^n x R avec n≻2 ou dans l'espace homogène S² x R. Nous prouvons l'existence de surfaces minimales dans R³ arbitrairement proches d'un polygone convexe. Nous prouvons également l'existence d'hypersurfaces minimales de type Riemann dans R^n x R, n≻2. Celles-ci peuvent être interprétées comme étant une famille d'hyperplans horizontaux (des bouts) reliés les uns aux autres par des morceaux de caténoïdes déformés (des cous). Nous donnons un résultat général pour ce type d'objet quand il est périodique ou bien quand il a un nombre fini de bouts horizontaux. Cela se fait sous certaines hypothèses de contraintes sur les forces intervenant dans la construction. Nous finissons en donnant plusieurs exemples, notamment l'existence d'une hypersurface de type Wei verticale qui n'existe pas en dimension 3. Nous donnons aussi la preuve de l'existence d'une surface minimale de type Riemann dans S² x R telle que deux bouts sphériques sont reliés entre eux alternativement par 1 cou et 2 cous. Là aussi, nous mettons en évidence le rôle joué par les forces lors de la construction. De même que dans le chapitre précédent, la méthode repose sur un processus de recollement. Nous donnons une description très précise de la caténoïde et la surface de Riemann dans S² x R. Enfin, nous établissons l'existence dans R^n x R d'hypersurfaces de type Scherk lorsque n≻2
Fichier principal
Vignette du fichier
TH2012PEST1069_complete.pdf (2.16 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)
Loading...

Dates et versions

tel-00802379 , version 1 (19-03-2013)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00802379 , version 1

Citer

Antoine Coutant. Deformation and construction of minimal surfaces. General Mathematics [math.GM]. Université Paris-Est, 2012. English. ⟨NNT : 2012PEST1069⟩. ⟨tel-00802379⟩
397 Consultations
789 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More