Positivité des cycles dans les variétés algébriques

par Max Rempel

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Olivier Debarre.

Soutenue en 2012

à Paris 7 .


  • Résumé

    On peut déllnir diverses notions de positivité pour un cycle (ou la classe homologique d'un cycle) dans une variole algébrique. Le but de cette thèse est d'étudier ces différentes notions dans les cas suivants:1,) La puissance d'une variété abélienne principalement polarisée très générale, 2. ) la variété paramétrant les droites d'une cubique clans un espace projcctîve de dimension 5, 3,) le produit C x C d'une courbe C de genre g très générale. \ Dans la première partie sur les variétés abéliennes, on utilise des techniques de la géométrie convexe et la théorie des représentations pour donner \ une explication plus conceptuelle des résultats de Debarre, Ein, Lazarsield et Voisin ce qui nous permet d'étendre ces résultats ensuite. En particulier on montre qu'il existe des classes nefs qui ne sont pas pseudoeffectives en toute codimension 2 <= k <= n-2, où n est lu dimension de la puissance de la variété abélienne, Dans la deuxième partie, on regarde des cas particuliers d'une variété hyperkâhlériennes de dimension 4. Pour ces variétés, on dispose d'une description conjecturale de Hassett et Tschinkel des cônes des classes nefs et pseudoeffectives en codimension 1 que l'on arrive a vérifier dans des \ cas particuliers. Cela nous permet d'obtenir des résultats sur les automorphismes birationnels de ces variétés ainsi que quelques résultats partiels sur la structure du cône des cycles (pseudoeffectifs) en codimension 2. Dans la troisième partie, on reprend des idées de Vojta pour produire des nouvelles classes nefs. La motivation de regarder ce cas est une conjecture de Kollar qui reste hors atteinte.

  • Titre traduit

    Positivity of cycles on algebraic varieties


  • Résumé

    We can define different notions of positivity for a cycle (or the homological class of a cycle) on an algebraic variety. The goal of this thesis is to sludy these different notions of positivity in the following cases. 1. ) The power of a very general principally poiarized abelian variety, 2. ) the variety parametrizing the lines on a cubic fourfold, 3. ) the product C x C of a very general curve of genus g. In the first part, where we study abelian varieties, we use techniques from convex gcometry and representation theory to give a more eonccptual explanalion of some results of Debarre. Ein, Lazarsfeld and Voisin which allows us to extend thèse results in the Ibllowtng. In pariicular, we show that there exist nef classes that are not pseudoeffective for every codimension 2 <- k <= n, vvhere n ist the dimension ofthe power ofthe abelian variety. In Ihe second part, we consider some pariicular cases of hyperkâhler manifolds of dimension 4, For these varieties Hassett and Tschinkel give a conjectural description ofthe cônes of nef and pseudoeffective classes that vve verify in some cases, This allows us to obatin some results on thé birational aulomorphisms of thèse varieties and some partial results on thé structure ofthe cône of (pseudo)effeelîve cycles of codimension 2. ïn thé third part, vve use ideas of Vojta to produce some new nef classes. The motivation in mis cas is a conjecture of Kollar which remains oui of reach,

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Informations

  • Détails : 1 vol. (109 p.)
  • Annexes : 73 réf.

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2012) 239
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