Principe de réflexion MRP : propriétés d'arbres et grands cardinaux

par Rémi Strullu

Thèse de doctorat en Mathématiques : Logique et fondements de l'informatique

Sous la direction de Boban Velickovic.

Soutenue en 2012

à Paris 7 .

mots clés

• Nombres cardinaux
• Théorie des ensembles

Résumé

Dans cette thèse, nous présentons les relations entre le principe de réflexion MRP introduit par Moore, les propriétés d'arbres généralisées ITP et ISP introduites par Weiβ, ainsi que les propriétés squre introduites par Jensen et développées par Schimmerling. Le résultat principal de cette thèse est que MRP+MA entraîne ITP(λ ,ω 2) pour tout cardinal λ ≥ ω2. Ce résultat implique par conséquent que les méthodes actuelles pour prouver la consistance de MRP+MA nécessitent au moins l'existence d'un cardinal supercompact. Il s'avère que MRP seul ne suffit pas à démontrer ce résultat, et nous donnons la démonstration que MRP n'entraine pas la propriété d'arbre plus faible, à savoir TP(ω 2. ω 2). De plus MRP+MA n'entraîne pas le principe d'arbre plus fort ISP (ω2, ω2). Enfin nous étudions les relations entre MRP et des versions faibles de square. Nous montrons que MRP implique la négation de square (λ, ω) et MRP+MA implique la négation de square(λ , ω 1) pour tout λ ≥ ω2.

Titre traduit

The reflection principle MRP, tree properties and large cardinals

Résumé

The object of this thesis is to study the relationships between the reflection principle MRP introduced by Moore, the generalized tree properties ITP and ISP introduced by Weiβ, and the square properties introduced by Jensen and extended by Schimmerling. The main result is that MRP+MA implies ITP(λ ,ω2) for all cardinals λ ≥ ω 2. Consequently, all known methods for proving the consistency of MRP+MA require at least a supercompact cardinal. MRP alone is not enough to prove that result, and we give a proof that MRP does not imply the weakest tree property, TP(ω2, ω2). Furthermore, MRP+MA does not imply the stronger tree property ISP(ω2, ω2). In addition, we study the relationship between MRP and some weak versions of the square principle. We show that MRP implies the faillure of square (λ,ω), and MRP+MA implies the failure of square(λ, ω1) for all λ ≥ ω2.