Torsion homologique dans les revêtements finis

par Jean Raimbault

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Nicolas Bergeron.

Soutenue en 2012

à Paris 6 .

mots clés

• Reidemeister, Torsion de
• Bianchi, Groupes de
• Variétés topologiques à 3 dimensions
• Homologie

Résumé

He main subject of this thesis is the study of the homology and cohomology of three--manifolds with integer coefficients, with an emphasis on their torsion subgroups. We are mainly intersted in studying the latter in sequence of finite covers and this last problem is related to that of approximating \ell^2 invariants by finite ones. In a first part (corresponding to Chapters 1 and 2) we study abelian covering spaces of CW complexes. We prove in all generality results on the growth of the torsion part of the homology groups in sequences of cyclic covers and partial results for more general abelian covering spaces. The second part (which comprises Chapters 3 through 6 and the Appendix A) deals with finite-volume hyperbolic 3--manifolds. We study the problem of approximation for L^2-analytic invariants in general setting before turning to the exclusive study of congruence manifolds. For these we also deal with Reidemeister torsions and integral homologies.

Résumé

Le thème central de cette thèse est l''etude des groupes d'homologie et de cohomologie entières, et plus particuli`erement de leur sous-groupes de torsion, des vari'et'es de dimension 3. On s'intéresse principalement au comportement de ces derniers dans des suites de revêtements finis, et ce probl`eme est reli'e `a l'approximation des invariants ell^2 de revêtements infinis. Dans une première partie (correspondant aux chapitres 1 et 2) on s'intéresse au cas des revêtements ab'eliens d'un complexe cellulaire quelconque et on 'etablit en toute généralité des résultats sur la croissance de la partie de torsion des groupes d'homologie dans les revêtements cycliques et des résultats partiels pour les revêtements ab'eliens plus g'en'eraux. La deuxi`eme partie (chapitres 3 `a 6 et Appendice A) traite uniquement de variétés hyperboliques de volume fini en dimension 3 ; on s'intéresse d'abord au probl`eme de l'approximation pour les invariants L^2 analytiques dans un cadre général puis on s'intéresse plus particuli`erement aux variétés de congruence. Pour ces dernières on 'etudie aussi la cohomologie entière