Autour de la conjecture de parité

par Thomas de La Rochefoucauld

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jan Nekovář.

Soutenue en 2012

à Paris 6 .

mots clés

• Courbes elliptiques
• Fonctions L

Résumé

In this thesis, questions related to the parity conjecture are studied. We show the p-parity conjecture for a specific twist of an elliptic curve over a local field. We deduce global results concerning invariance (by some appropriate extensions) of the p-parity conjecture for an elliptic curve. With the objective to expand these results, a formula for root numbers of essentially symplectic and tamely ramified representations of the Weil group is shown. This result generalizes the one already known for elliptic curves with potentially good reduction. Finally, a first step is made toward the generalization on p-parity results with the comparison of Tamagawa numbers and regulator constants for a premotif (with a few restrictions).

Résumé

Cette thèse porte sur des questions liées à la conjecture de parité. On démontre la conjecture de p-parité pour un certain twist d'une courbe elliptique sur un corps local. On en déduit des résulats globaux d'invariance de la conjecture de p-parité (pour une courbe elliptique) par certaines extensions. Avec l'objectif de généraliser les résultats précédents, on démontre une formule pour les signes locaux des représentations essentiellement symplectiques et modérément ramifiées du groupe de Weil. Cette formule généralise celle, déjà connue, pour les courbes elliptiques ayant potentiellement bonne réduction. Finalement, on fait un premier pas vers la généralisation escomptée en comparant les nombres de Tamagawa et les constantes de régulation pour certains prémotifs.