# Modeling the dynamics of gene regulatory networks : piecewise linear differential equations and discrete approaches

## par Aparna Das

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Francine Diener et de Gilles Bernot.

• ## Résumé

In order to describe the dynamic behavior of gene regulatory networks different formalisms have been introduced. In this thesis, we describe first the discrete approach of René Thomas and piecewise linear differential equations approach. Then we proposed a correspondence result between the two approaches and based on it we proposed an automatic computational technique to understand the global behavior of such complex systems using MAPLE programming language. The proposed code provides a way to compute the trajectories of the discrete version of a gene regulatory network model given an initial condition, in the same way as usual numerical algorithms give the “true” solution of a differential model from an initial condition. Knowing a discrete trajectory is less precise than knowing a true trajectory but correspondence theorems shows the link between the two approaches. Hence, it is a mathematical tool for analysing gene regulatory networks models. Finally, we illustrate both discrete and piecewise linear approaches, theircorrespondence and the use of our Maple code on a specific example: a mathematical model of the circadian clock. Our first two presented 8 and 4 variables models are the simplification of a model proposed by Leloup and Goldbeter. We deliberately choose to push the simplicity of the model as far as possible, focusing only on a few biological behaviors of interest. The hope is to get nevertheless the essential abstract causalities that govern these behaviors.

Modélisation de la dynamique des réseaux de régulation génétique : équations diférentielles linéaires par morceaux et approches discrètes

• ## Résumé

Afin de décrire le comportement dynamique de réseaux de régulation génétique, différents formalismes ont été introduits. Dans cette thèse, on décrit d’abord l’approche discrète de René Thomas ainsi et celle des équations différentielles linéaires par morceaux. On propose ensuite un résultat de correspondance entre les deux approches sur laquelle on se base pour donner une technique de calcul automatique dans le but de comprendre le comportement global de ces systèmes complexes en utilisant un langage de programmation MAPLE. Le code MAPLE proposé fournit un moyen pour calculer les trajectoires de la version discrète des modèles de réseaux de régulation génétiques à partir d’une condition initiale donnée, de la même manière que les algorithmes numériques donnent les “vrais” solutions du modèle différentiel. Connaître une trajectoire discrète est moins précis que connaître une vraie trajectoire, mais les théorèmes de correspondance relient les deux approches. Par conséquent, il s’agit d’un outil mathématique permettant d’analyser les modèles de réseaux de régulation génétique. Enfin, on illustre les deux approches discrètes et linéaires par morceaux, leur correspondance et la possibilité d’utiliser notre code MAPLE sur un exemple précis: un modèle mathématique du cycle circadien. Nos deux premiers modèles à 8 et 4 variables ont été obtenus par simplification d’un modèle proposé par Leloup et Goldbeter. Nous avons délibérément choisi de pousser la simplicité du modèle autant que possible, en se concentrant uniquement sur quelques comportements biologiques d’intérêt, espérant garder néanmoins les mécanismes principaux qui régissent ces comportements.

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Informations

• Détails : 1 vol. (xx-121 p.)
• Annexes : Bibliogr. p. [115]-121. Résumés en français et en anglais

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