Thèse soutenue

Champs de vecteurs, flots et géodésiques sur les supervariétés
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Auteur / Autrice : Stéphane Garnier
Direction : Tilman Wurzbacher
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 07/03/2012
Etablissement(s) : Université de Lorraine
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LMAM - Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz - UMR 7122
Jury : Président / Présidente : Simone Gutt
Examinateurs / Examinatrices : Angela Pasquale, Gijs Tuynman
Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Bennequin, Joachim Hilgert

Résumé

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Le résultat principal de cette thèse est de donner une définition de géodésique sur les supervariétés riemanniennes (\ca,g) paires (et aussi impaires) et de la justifier par un théorème reliant les courbes géodésiques avec le flot géodésique sur \text{T}^*\ca. Pour ce faire, nous construisons la 2-forme symplectique canonique sur \text{T}^*\ca et l'analogue H de la fonctionnelle énergie dans le contexte des supervariétés. Nous prenons ainsi le flot du champ de vecteurs hamiltonien associé à H que nous nommons "flot géodésique''. Alors, nous relions les supergéodésiques, que nous définissons à l'aide de la dérivée covariante comme des courbes à vitesse auto-parallèle, avec le flot géodésique via des conditions initiales adaptées aux supervariétés. Une autre définition de géodésique a été proposée en 2006 par O. Goertsches mais ces courbes ne sont pas en bijection avec les courbes intégrales du flot géodésique que nous construisons. Notre définition de géodésique semble donc présenter plus d'avantages. Par ailleurs, nous pouvons, à l'aide du flot, construire l'application exponentielle. Nous en profitons pour démontrer le résultat, bien connu au cas de cadre des variétés classiques (non-graduées), de linéarisation des isométries en utilisant l'exponentielle. Dans la dernière partie, nous redémontrons un résultat de J. Monterde et O.M. Sánchez-Valenzuela concernant l'intégration des champs de vecteur pairs, impairs et aussi non homogènes dans le but d'éviter d'utiliser un modèle de Batchelor. Ceci permet par exemple, de généraliser leurs résultats aux supervariétés holomorphes.