Quelques contributions à l'étude de certaines martingales

par Shunli Hao

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Quansheng Liu.

Soutenue en 2012

à Lorient , dans le cadre de École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère) , en partenariat avec Université européenne de Bretagne (2007-2016) (autre partenaire) .

mots clés

• Polymères dirigés
• Cascades multiplicatives de Mandelbrot
• Processus de branchement
• Martingales (mathématiques)
• Processus stochastiques

Résumé

Cette thèse comporte deux parties. La première partie porte sur l’étude des vitesses de convergence dans la loi des grands nombres pour les tableaux de différences de martingales. 　Soit (Xj) une suite de différences de martingales. Notons Sn = X1 + … + Xn. Sous une condition de moment simple, nous montrons un critère pour la convergence d’une série. Nous démontrons également un critère pour son générale terme. Nos résultats étendent les théorèmes bien connus de Baum et Katz (1965) sur les variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées ; ils améliorent un théorème de Alsmeyer (1990) dans le cas des martingales. Les résultats sont établis dans un cadre plus général pour un tableau de différences de martingales (Xnj)j≥1 (n≥1). Les résultats ainsi obtenus améliorent et complètent un théorème de Ghosal et Chandra (1998) ; ils sont très adaptés pour l’étude des sommes pondérées de variables aléatoires (en particulier la sommation de Cesàro), pour lesquelles nous démontrons des théorèmes nouveaux sur la vitesse de convergence dans la loi des grands nombres. Le cas unilatéral et le cas des surmartingales sont également considérés. Dans la deuxième partie, nous étudions quelques modèles concrets liés à certaines martingales en milieu aléatoire. Nous obtenons un théorème sur la dimension local de la mesure de branchement en environnement aléatoire, des théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème central limite et théorèmes de grandes déviations) pour les cascades multiplicatives de Mandelbrot en environnement aléatoire et un théorème de convergence dans Lp pour l’énergie libre de polymères dirigés en environnement aléatoire.

Titre traduit

Some contributions to the study of certain martingales

Résumé

This thesis consists of two parts. The first part focuses on the study of the convergence rates in the law of large numbers for arrays of martingale differences. Let (Xj) be a sequence of martingale differences and set Sn = X1 + …+ Xn. Under a simple moment condition, we show a criterion for the convergence of a series. We also give a criterion for its general term. Our results extend the theorems well known of Baum and Katz (1965) about independent and identically distributed random variables ; they improve a theorem of Alsmeyer (1990) in the martingale case. The results are established in a more general setting for an array of martingale differences (Xnj)j≥1 (n≥1). The obtained results improve and complete a theorem of Ghosal and Chandra (1998) ; they are very adapted in the study of weighted sums of random variables (in particular Cesàro summation), for which we prove new theorems about the rates of convergence in the law of large numbers. The one-sided case and the supermartingale case are also considered. In the second part, we study some concrete models related to certain martingales in a random environment. We obtain a theorem about the local dimension of the branching measure in a random environment, some limit theorems (a law of large numbers, a central limit theorem and two theorems of large deviations) for Mandelbrot’s multiplicative cascades in a random environment and a theorem of convergence in Lp for the free energy of directed polymers in a random environment.