Stabilisation des systèmes quantiques à temps discrets et stabilité des filtres quantiques à temps continus

par Hadis Amini

Thèse de doctorat en Mathématique et automatique

Sous la direction de Pierre Rouchon.

Le président du jury était Jean-Michel Coron.

Le jury était composé de Pierre Rouchon, Michel Brune, Gabriel Turinici, Clément Pellegrini, Mazyar Mirrahimi.

Les rapporteurs étaient Stéphane Gaubert, Claudio Altafini.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions des rétroactions visant à stabiliser des systèmes quantiques en temps discret soumis à des mesures quantiques non-destructives (QND), ainsi que la stabilité des filtres quantiques à temps continu. Cette thèse comporte deux parties. Dans une première partie, nous généralisons les méthodes mathématiques sous-jacentes à une rétroaction quantique en temps discret testée expérimentalement au Laboratoire Kastler Brossel (LKB) de l'École Normale Supérieure (ENS) de Paris. Plus précisément,nous contribuons à un algorithme de contrôle qui a été utilisé lors de cette expérience récente de rétroaction quantique. L'expérience consiste en la préparation et la stabilisation à la demande d'états nombres de photons (états de Fock) d'un champ de micro-ondes au sein d'une cavité supraconductrice. Pour cela, nous concevons des filtres à temps-réel permettant d'estimer les états quantiques malgré des imperfections et des retards de mesure, et nous proposons une loi de rétroaction assurant la stabilisation d'un état cible prédéterminé. Cette rétroaction de stabilisation est obtenue grâce à des méthodes Lyapunov stochastique et elle repose sur un filtre estimant l'état quantique. Nous prouvons qu'une telle stratégie de contrôle se généralise à d'autres systèmes quantiques en temps discret soumis à des mesures QND. Dans une seconde partie, nous considérons une extension du résultat obtenu pour des filtres quantiques en temps discret au cas des filtres en temps continu. Dans ce but, nous démontrons la stabilité d'un filtre quantique associé à l'équation maîtresse stochastique usuelle découlant par un processus de Wiener. La stabilité signifie ici que la “distance”entre l'état physique et le filtre quantique associé décroit en moyenne. Cette partie étudie également la conception d'un filtre optimal en temps continu en présence d'imperfections de mesure. Pour ce faire, nous étendons la méthode utilisée précédemment pour construire les filtres quantiques en temps discret tolérants aux imperfections de mesure. Enfin,nous obtenons heuristiquement des filtres optimaux généraux en temps continu, dont la dynamique est décrite par des équations maîtresses stochastiques découlant à la fois par processus de Poisson et Wiener. Nous conjecturons que ces filtres optimaux sont stables.

  • Titre traduit

    Stabilization of discrete-time quantum systems and stability of continuous-time quantum filters


  • Résumé

    In this thesis, we study measurement-based feedbacks stabilizing discrete-time quantum systems subject to quantum non-demolition (QND) measurements and stability of continuous-time quantum filters. This thesis contains two parts. In the first part, we generalize the mathematical methods underlying a discrete-time quantum feedback experimentally tested in Laboratoire Kastler Brossel (LKB) at Ecole Normale Supérieure (ENS) de Paris. In fact, we contribute to a control algorithm which has been used in this recent quantum feedback experiment. This experiment prepares and stabilizes on demand photon-number states (Fock states) of a microwave field in a superconducting cavity. We design real-time filters allowing estimation of the state despite measurement imperfections and delays, and we propose a feedback law which ensures the stabilization of a predetermined target state. This stabilizing feedback is obtained by stochastic Lyapunov techniques and depends on a filter estimating the quantum state. We prove that such control strategy extends to other discrete-time quantum systems under QND measurements. The second part considers an extension, to continuous-time, of a stability result for discrete-time quantum filters. Indeed, we prove the stability of a quantum filter associated to usual stochastic master equation driven by a Wiener process. This stability means that a “distance” between the physical state and its associated quantum filter decreases in average. Another subject that we study in this part is related to the design of a continuous-time optimal filter, in the presence of measurement imperfections. To this aim, we extend a construction method for discrete-time quantum filters with measurement imperfections. Finally, we obtain heuristically generalized continuous-time optimal filters whose dynamics are given by stochastic master equations driven by both Poisson and Wiener processes. We conjecture the stability of such optimal filters.


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