Etude mathématique des propriétés de transport des opérateurs de Schrödigner aléatoires avec structure quasi-cristalline

A mathematical study of transport properties of Schrödinger operators with a quasicrystalline structure.

• Auteur / Autrice : Constanza Rojas Molina
• Direction : François Germinet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/06/2012
• Etablissement(s) : Cergy-Pontoise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Économie, Management, Mathématiques, Physique et Sciences Informatiques (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Analyse, géométrie et modélisation (Cergy-Pontoise, Val d'Oise ; 1993-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Germinet, Laurent Bruneau, Peter Müller, Alain Joye, Daniel Lenz, Abel Klein
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Peter Hislop, Frédéric Klopp

Mots clés

Mots clés contrôlés

Anderson, Modèle d'

Systèmes dynamiques

Schrödinger, Opérateur de

Mots clés libres

Opérateurs de Schrödinger alèatoires

Localisation d'Anderson

Transition métal-isolant

Opérateurs de Delone

Systèmes dynamiques de Delone

Densité d'états integrée

Random Schrödinger operators

Anderson localization

Metal-insulator transition

Delone operators

Delone dynamical systems

Integrated density of states

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude du transport électronique dans des modèles désordonnés non ergodiques, dans le cadre de la théorie des opérateurs de Schrödinger aléatoires.Pour commencer, nous reformulons l'outil principal pour notre étude, l'analyse multi-échelles, dans le cadre non ergodique. Nous établissons les conditions d'homogénéité que l'opérateur doit vérifier pour appliquer cette méthode. Ensuite, nous étudions les propriétés spectrales des opérateurs de Delone-Anderson non ergodiques. Ces systèmes modélisent l'énergie d'une particule en interaction avec un milieu dont la structure atomique est quasi-cristalline et la nature des impuretés est désordonnée. Dans le cas où les mesures de probabilité associées au potentiel de simple site sont régulières, en dimension 2 et sous l'effet d'un champ magnétique, nous établissons une transition métal-isolant et l'existence d'une énergie de mobilité qui sépare les régions de localisation et de délocalisation dynamiques. Pour des mesures de simple site régulières et celle de Bernoulli, nous démontrons la localisation dynamique en bas du spectre. De plus, nous obtenons une description quantitative de la région de localisation dynamique en termes de paramètres géométriques de l'ensemble de Delone de base.Nous concluons ce travail avec l'étude de la densité d'états intégrée pour des modèles de Delone-Anderson, en combinaison avec des outils de la théorie des systèmes dynamiques associés aux quasi-cristaux. Sous certaines conditions sur la géométrie de l'ensemble de Delone sous-jacent, nous montrons l'existence de la densité d'états intégrée. De plus, dans le cas d'une perturbation de Delone-Anderson du Laplacien libre, nous démontrons qu'elle a un comportement asymptotique de Lifshitz en bas du spectre.

His thesis is devoted to the study of electronic transport in non ergodic disordered models, in the framework of random Schrödinger operators.We start by reformulating the main tool in our study, the multiscale analysis, in the non ergodic setting. We establish suitable homogeneity conditions on the operator, in order to apply this method.Next, we study the spectral properties of non ergodic Delone-Anderson operators. These models represent a particle interacting with a medium whose atomic structure is quasi-crystalline and the nature of its impurities is disordered. In the case where the probability measures associated to the single-site potential are regular, in dimension 2 and under the effect of a magnetic field, we establish a metal-insulator transition and the existence of a mobility edge that separates the localization and delocalization regions. In arbitrary dimension, for regular and for Bernoulli single-site measures, we show dynamical localization at the bottom of the spectrum. Moreover, we obtain a quantitative lower bound on the size of the localization region in terms of the geometric parameters of the underlying Delone structure.We conclude this essay by studying the integrated density of states for Delone-Anderson models, using tools from the theory of dynamical systems associated to quasicrystals. Under certain conditions on the geometry of the underlying Delone set, we show the existence of the integrated density of states. Furthermore, in the case of a Delone-Anderson perturbation of the free Laplacian, we show it exhibits Lifshitz tails at the bottom of the spectrum.