Contribution à la modélisation et à la simulation numérique multi-échelle du transport cinétique électronique dans un plasma chaud

par Jessy Mallet

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées et calcul scientifique

Sous la direction de Bruno Dubroca et de Emmanuel d' Humières.

Soutenue le 01-10-2012

à Bordeaux 1 , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Bordeaux (laboratoire) .

Le jury était composé de Alain Bachelot, Christophe Berthon, Francis Filbet, Luc Mieussens, Stéphane Brull, Vladimir Tikhonchuk.

Les rapporteurs étaient Guy Bonnaud, Pierre Degond.


  • Résumé

    En physique des plasmas, le transport des électrons peut être décrit d'un point de vue cinétique ou d'un point de vue hydrodynamique.En théorie cinétique, une équation de Fokker-Planck couplée aux équations de Maxwell est utilisée habituellement pour décrire l'évolution des électrons dans un plasma collisionnel. Plus précisément la solution de l'équation cinétique est une fonction de distribution non négative f spécifiant la densité des particules en fonction de la vitesse des particules, le temps et la position dans l'espace. Afin d'approcher la solution de ce problème cinétique, de nombreuses méthodes de calcul ont été développées. Ici, une méthode déterministe est proposée dans une géométrie plane. Cette méthode est basée sur différents schémas numériques d'ordre élevé . Chaque schéma déterministe utilisé présente de nombreuses propriétés fondamentales telles que la conservation du flux de particules, la préservation de la positivité de la fonction de distribution et la conservation de l'énergie. Cependant, le coût de calcul cinétique pour cette méthode précise est trop élevé pour être utilisé dans la pratique, en particulier dans un espace multidimensionnel.Afin de réduire ce temps de calcul, le plasma peut être décrit par un modèle hydrodynamique. Toutefois, pour les nouvelles cibles à haute énergie, les effets cinétiques sont trop importants pour les négliger et remplacer le calcul cinétique par des modèles habituels d'Euler macroscopiques. C'est pourquoi une approche alternative est proposée en considérant une description intermédiaire entre le modèle fluide et le modèle cinétique. Pour décrire le transport des électrons, le nouveau modèle réduit cinétique M1 est basé sur une approche aux moments pour le système Maxwell-Fokker-Planck. Ce modèle aux moments utilise des intégrations de la fonction de distribution des électrons sur la direction de propagation et ne retient que l'énergie des particules comme variable cinétique. La variable de vitesse est écrite en coordonnées sphériques et le modèle est défini en considérant le système de moments par rapport à la variable angulaire. La fermeture du système de moments est obtenue sous l'hypothèse que la fonction de distribution est une fonction d'entropie minimale. Ce modèle satisfait les propriétés fondamentales telles que la conservation de la positivité de la fonction de distribution, les lois de conservation pour les opérateurs de collision et la dissipation d'entropie. En outre une discrétisation entropique avec la variable de vitesse est proposée sur le modèle semi-discret. De plus, le modèle M1 peut être généralisé au modèle MN en considérant N moments donnés. Le modèle aux N-moments obtenu préserve également les propriétés fondamentales telles que les lois de conservation et la dissipation de l'entropie. Le schéma semi-discret associé préserve les propriétés de conservation et de décroissance de l'entropie.


  • Résumé

    In plasma physics, the transport of electrons can be described from a kinetic point of view or from an hydrodynamical point of view.Classically in kinetic theory, a Fokker-Planck equation coupled with Maxwell equations is used to describe the evolution of electrons in a collisional plasma. More precisely the solution of the kinetic equations is a non-negative distribution function f specifying the density of particles as a function of velocity of particles, the time and the position in space. In order to approximate the solution of such problems, many computational methods have been developed. Here, a deterministic method is proposed in a planar geometry. This method is based on different high order numerical schemes. Each deterministic scheme used presents many fundamental properties such as conservation of flux particles, preservation of positivity of the distribution function and conservation of energy. However the kinetic computation of this accurate method is too expensive to be used in practical computation especially in multi-dimensional space.To reduce the computational time, the plasma can be described by an hydrodynamic model. However for the new high energy target drivers, the kinetic effects are too important to neglect them and replace kinetic calculus by usual macroscopic Euler models.That is why an alternative approach is proposed by considering an intermediate description between the fluid and the kinetic level. To describe the transport of electrons, the new reduced kinetic model M1 proposed is based on a moment approach for Maxwell-Fokker-Planck equations. This moment model uses integration of the electron distribution function on the propagating direction and retains only the energy of particles as kinetic variable. The velocity variable is written in spherical coordinates and the model is written by considering the system of moments with respect to the angular variable. The closure of the moments system is obtained under the assumption that the distribution function is a minimum entropy function. This model is proved to satisfy fundamental properties such as the non-negativity of the distribution function, conservation laws for collision operators and entropy dissipation. Moreover an entropic discretization in the velocity variable is proposed on the semi-discrete model. Moreover the M1 model can be generalized to the MN model by considering N given moments. The N-moments model obtained also preserves fundamental properties such as conservation laws and entropy dissipation. The associated semi-discrete scheme is shown to preserve the conservation properties and entropy decay.


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