Contribution à la résolution de la conjecture S-adique

par Julien Leroy

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Fabien Durand et de Gwenaël Richomme.

Soutenue en 2012

à Amiens .

mots clés

• Dynamique holomorphe
• Complexité de calcul (informatique)

Résumé

Cette thèse concerne la Conjecture S-adique qui stipule l'existence d'une version forte de S-adicité dans les suites qui serait équivalente à une complexité p (en facteurs) sous-linéaire. Une suite w à valeurs dans un alphabet fini A est dite S-adique si S est un ensemble de morphismes permettant de dé-substituer indéfiniment w. Sans condition supplémentaire, la complexité en facteurs d'une suite S-adique peut être arbitrairement grande. Cependant, de nombreuses familles de suites bien connues admettent des développements S-adiques avec S de cardinalité finie et sont également de complexité sous-linéaire. La conjecture S-adique apparaît alors naturellement comme une tentative de relier ces deux notions. Dans cette thèse, nous étudions en détails une méthode constructive basée sur les graphes de Rauzy et qui produit un développement S-adique des suites uniformément récurrentes de complexité sous-linéaire. Par ce biais, nous exhibons certaines propriétés nécessaires (mais pas suffisantes) du développement obtenu. Dans le cas particulier des suites uniformément récurrentes dont la différence première de complexité est majorée par deux, cette méthode est poussée à l'extrême, si bien que les conditions nécessaires obtenues en deviennent suffisantes.

Titre traduit

Contribution to the resolution of the S-adic conjecture

Résumé

This thesis is about the S-adic conjecture which supposes the existence of a stronger notion of S-adicity that would be equivalent to having a sub-linear factor complexity. A sequence w over a finite alphabet A is said to be S-adic if S is a set of morphisms that allows to indefinitely de-substitute w. Without additional condition, the factor complexity of an S-adic sequence might be arbitrarily large. However, many well-known families of sequences have a sub-linear complexity and admit some S-adic expansions with a finite set S. The S-adic conjecture is therefore a natural attempt to link these two notions. In this thesis, we study in detail a method based on Rauzy graphs that provides an S-adic expansion of uniformly recurrent sequences with a sub-linear complexity. By this way we are able to determine some necessary (but not sufficient) conditions of these expansions. In the particular case of uniformly recurrent sequences with first difference of complexity bounded by two, the method is studied with even much more details, which makes the necessary conditions sufficient.