Variétés de Richardson : multiplicités et désingularisation

par Michaël Balan

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Aziz El Kacimi Alaoui.

Soutenue en 2011

à Valenciennes .

mots clés

• Schubert, Variétés de
• Variétés de drapeaux (géométrie)
• Variétés algébriques

Résumé

Une variété de Richardson est l’intersection d’une variété de Schubert directe avec une variété de Schubert opposée dans une variété de drapeaux. Dans cette thèse, on s’intéresse aux singularités des variétés de Richardson. Un résultat de Kreiman et Lakshmibai donne la multiplicité d’un point T-fixe sur une variété de Richardson. Dans le chapitre I, on prouve qu’en caractéristique nulle, leur formule est valable en un point quelconque, pourvu que la variété de drapeaux soit cominuscule. On considère ensuite une désingularisation d’une variété de Richardson de la variété des drapeaux complets de type An, obtenue comme sous-variété d’une variété de Bott-Samelson. On dispose d’une famille naturelle de fibrés en droite sur les variétés de Bott-Samelson, et leurs espaces de sections ont été étudiés par Lakshmibai et Magyar, qui en donnent une base indexée par des objets combinatoires, appelés tableaux standard. On prouve dans le chapitre II que cette base est compatible avec la désingularisation de la variété de Richardson lorsque le fibré en droites est très ample. On obtient de cette façon une base indexée par des tableaux particuliers, appelés w0-standard.

Titre traduit

Richardson varieties : multiplicities and desingularization

Résumé

A Richardson variety is the intersection of a direct Schubert variety with an opposite Schubert variety inside a flag variety. In this thesis, we are interested in the singularities of Richardson varieties. A result of Kreiman and Lakshmibai gives the multiplicity at a T-fixed point on a Richardson variety. In chapter I, we prove that in characteristic zero, their formula is true for an arbitrary point, provided the flag variety is cominuscule. Next, we consider a desingularization of a Richardson variety in the full flag variety of type An, obtained as a subvariety of a Bott-Samelson variety. There is a natural family of line bundles on Bott-Samelson varieties, and their spaces of sections have been studied by Lakshmibai and Magyar, who give a basis of these spaces indexed by combinatorial objects called standard tableaux. We prove in chapter II that this basis is compatible with the desingularization of the Richardson variety when the line bundle is very ample. In this way, we obtain a basis indexed by particular tableaux, the so-called w0-standard ones.