Progrès en tomographie par synthèse de Fourier

par Abdelhadi El Asmai

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées et application des mathématiques

Sous la direction de Pierre Gantet et de Pierre Maréchal.

Soutenue en 2011

à Toulouse 3 .

mots clés

• Tomographie
• Problèmes mal-posés
• Régularisation
• Synthèse de Fourier
• Fourier, Séries de
• Tomographie
• Problèmes inverses

Résumé

La reconstruction d'image tomographique permet de visualiser en 3D la répartition d'un radiopharmaceutique à l'intérieur du corps humain à partir d'une série d'images 2D prises sous différentes incidences. Ces dernières années de nets progrès ont été obtenus en prenant en compte un modèle plus réaliste du système d'acquisition des images, qui inclut notamment la réponse impulsionnelle de la caméra variable avec la distance, et d'autres facteurs de dégradation des images. Toutefois, d'un point de vue mathématique le problème reste un problème inverse mal posé et de grande taille. Dans cette thèse nous avons considéré une approche particulière pour la régularisation de ces problèmes. Cette approche est fondée sur des notions relevant de la synthèse de Fourier. L'originalité de cette étude réside dans le pré-traitement des données, qui est motivé par le fait que l'opérateur d'imagerie considéré est plus réaliste et qu'il ne permet pas la simple application du théorème de la projection. Nous avons établi une stratégie pour le calcul numérique de l'opérateur de pré-traitement. Nous avons proposé une solution basée sur l'algorithme proximal pour réaliser ce calcul dans le cas de matrices de projection de grandes tailles. Cet algorithme permet le calcul de la solution des moindres carrés et de moindre norme de l'équation initiale, et donc des données régularisées. Le problème initial étant mal posé, la solution des moindres carrés et de moindre norme est très sensible aux erreurs sur les données, mais le passage aux données régularisées via un opérateur de convolution, réduit considérablement la sensibilité aux erreurs. La stratégie dans son ensemble est à la fois stable et entièrement consistante avec l'objectif fixé, c'est-à-dire, la reconstruction d'une version convoluée de l'objet original.

Titre traduit

Progress in tomography by Fourier synthesis

Résumé

Tomographic image reconstruction is used to visualize 3D distribution of a radiopharmaceutical inside a patient's body from a series of 2D images taken under various incidences. In these last years significant progress were obtained by taking into account more realistic model of image acquisition system, which includes in particular the impulse response of the camera and other factors of image degradation. However, from a mathematical viewpoint the problem is an ill-posed inverse problem. In this thesis we considered a particular approach to the regularization of the inverse problem of computerized tomography. This approach is based on notions pertaining to the Fourier synthesis. It refines previous contributions, in which the preprocessing of the data was performed according to the Fourier slice theorem. Since real models must account for the geometrical system response and possibly Compton scattering and attenuation, The Fourier slice theorem does not apply, yielding redefinition of the preprocessing. In general, the latter is not explicit, and must be performed numerically. The most natural choice of preprocessing involves the computation of unstable solutions. A proximal strategy is proposed for this step, which allows for accurate computations and preserves global stability of the reconstruction process.