Modeling of aggregation and morphogenesis phenomena inside animal societies

• Auteur / Autrice : Amic Frouvelle
• Direction : Pierre Degond, Hugues Chaté
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Riemann, Variétés de

Modèles mathématiques

Sociétés animales

Fokker-Planck, Équation de

Morphogenèse

Mots clés libres

Modèle de Vicsek

Théorie cinétique

Transition de phase

Variété Riemannienne

Théorie de Doi–Onsager

Analyse harmonique

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude, à différentes échelles, de modèles de particules se déplaçant à vitesse constante et en interaction d'alignement (des variantes de la version continue en temps du modèle de Vicsek proposée par P. Degond et S. Motsch), qui interviennent dans la description du comportement d'individus dans des sociétés animales telles que des bancs de poissons ou des nuées d'oiseaux. Dans une première partie, on étudie l'influence au niveau macroscopique de variantes introduites au niveau individuel. On obtient dans certains cas le même type de modèle macroscopique que pour le modèle original, la différence se situant dans les coefficients finaux et dans la possibilité d'une perte d'hyperbolicité. Dans une autre variante, où le taux de relaxation vers la direction moyenne des particules voisines est proportionnel à leur quantité de mouvement, on met en évidence un phénomène de transition de phase entre le modèle précédent et un modèle de type diffusion. Enfin on introduit une variante du modèle où les particules se déplacent sur une variété Riemannienne. Dans une seconde partie, on analyse la dynamique de la version homogène en espace du modèle avec transition de phase qui se présente sous la forme d'une équation de Fokker–Planck non linéaire. Cette équation, aussi appelée équation de Doi avec potentiel dipolaire, apparaît également dans l'étude de suspensions de polymères. On obtient des résultats précis qui permettent de décrire cette transition de phase. En particulier on montre la convergence exponentielle (ou algébrique dans le cas critique) vers un état d'équilibre de type déterminé par la condition initiale.

This thesis is devoted to the study, at different scales, of models of particles moving with constant speed and with alignment interaction (variants of the time-continuous version of the Vicsek model proposed by P. Degond and S. Motsch), which arise in the description of the behavior of individuals inside animal societies such as fish schools or flocks of birds. In a first part, we study the influence, at the macroscopic level, of variants introduced at the individual level. We get in some cases the same type of macroscopic model as for the original one, the difference being in the final coefficients and in the possible loss of hyperbolicity. In another variant, where the rate of relaxation to the mean direction of the neighboring particles is proportional to their momentum, we highlight a phenomenon of phase transition between the previous model and a diffusive-type model. Finally we introduce a variant of the model where the particles move on a Riemannian manifold. In a second part, we analyze the dynamics of the space-homogeneous version of the model with phase transition, which takes the form of a nonlinear Fokker–Planck equation. This equation, also called Doi equation with dipolar potential, also appears in the study of suspensions of polymers. We obtain precise results which allow to describe this phase transition. In particular, we prove the exponential convergence (or algebraic in the critical case) to a steady state, the type of which is given by the initial condition.