Perturbations à oscillations lentes de l’opérateur de schrödinger périodique

par Asya Metelkina

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Frédéric Klopp.

Soutenue en 2011

à Paris 13 .

mots clés

• Schrödinger, Opérateur de
• Opérateurs presque périodiques
• Perturbation (mathématiques)
• Groupes de monodromie

Résumé

On étudie l’opérateur de Schrödinger H =. . . + V(x) + W(x exp α) dans L où V est un potentiel périodique générique. On suppose que w est périodique et αlpha (O, 1) de sorte que la perturbation W(x°) soit à oscillations asymptotiquement lentes. On étudie l’asymptotique des solutions de l’équation propre associée par deux approches différentes. La première approche, qui est basée sur une méthode de Sirnon-Zhu, utilise des approximations périodiques. On obtient une formule explicite pour la densité d’états intégrée pour H Puis, on prouve l’existence et on donne une formule pour l’exposant de Lyapounov pour presque toutes les énergies. Nous décrivons aussi l’ensemble exceptionnel des énergies, qui contient le spectre singulier continu de Hα. La seconde méthode est nouvelle : elle utilise des approximations quasi- périodiques plutôt que périodiques. On approxime la résolvante de Hα par les résolvantes des opérateurs quasi-périodiques H =. . . + V(x) + W(sx + z) pour des paramètres z et bien choisis. Afin de pouvoir appliquer la méthode de la résolvante approchée à Hα , on étudie des solutions de l’équation propre pour à l’aide de la méthode BKW complexe de Fedotov—Klopp. On obtient les asymptotiques des solutions et des matrices de monodromie quand  tend vers zéro. Sous la condition αlpha >1/2, on construit des solutions de l’équation propre pour Hα ayant une asymptotique simple en x sur de grands intervalles. Puis, par l’étude des matrices de transfert associées, on obtient une nouvelle description, plus précise que la précédente, de l’ensemble exceptionnel des énergies.

Titre traduit

Slowy oscillating perturbations of the periodic Shrödinger operator

Résumé

We study the Schrôdinger operator =. . . + V(x) + W(x exp α) with a generic periodic potential V. We suppose that W is periodic and α  (O, 1) so that the perturbation W(x°) is asymptotically slowly oscillating. We use two approaches for the asymptotic study of the solutions of the associated eigenvalue equation. The first method is developed by Sirnon-Zhu and based on periodic approximations. We give an explicit formula for the integrated density of states for Hα. Then we prove existence and give a formula for the Lyapounov exponent for almost ail energies. We obtain a description of the exceptional set of energies containing the singular continuous spectrum of Hα. The second method is new and uses quasiperiodic approximations instead of periodic ones. We approach the resolvent of H by the resolvents of the quasiperiodic operators Hz,e + V(x) + V(Ex + z) for some parameters z and z. In order to use the approximate resolvent method for H α, we also study the solutions of the eigenvalue equation for H. . . Using Fedotov-Klopp's complex WKB method. We obtain the asymptotics of the solutions and of the monodromy matrices as  goes to zero. Under the condition αlpha >1/2 , we construct solutions of the eigenvalue equation associated to Hα, having simple asymptotics in x on large intervals. Then by studying the associated transfer matrices, we obtain a new, more precise than the previous one, description of the exceptional set of energies.