Étude du modèle de l'agrégation limitée par diffusion interne

On the Internal Diffusion Limited Aggregation model

• Auteur / Autrice : Cyrille Lucas
• Direction : Nathanaël Enriquez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/12/2011
• Etablissement(s) : Paris 10
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Connaissance, langage et modélisation (Nanterre)
• Jury : Président / Présidente : Francis Comets
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nathanaël Enriquez, Francis Comets, Mohamed-Amine Asselah, Vincent Beffara, Olivier Raimond
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mohamed-Amine Asselah

Mots clés

Mots clés contrôlés

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Marche aléatoire

Modèle de croissance

Théorie du potentiel parabolique

Percolation

DLA interne

Tas de sable divisible

Random walk

Growth model

Parabolic potential theory

Percolation

Internal DLA

Divisible sandpile

Résumé

Cette thèse contient quatre travaux sur le modèle d'Agrégation Limitée par Diffusion Interne (iDLA), qui est un modèle de croissance pour la construction récursive d'ensembles aléatoires. Le premier travail concerne la dimension 1 et étudie le cas où les marches aléatoires formant l'agrégat évoluent dans un milieu aléatoire. L'agrégat normalisé converge alors non pas vers une forme limite déterministe comme dans le cas de marches aléatoires simples mais converge en loi vers un segment contenant l'origine dont les extrémités suivent la loi de l'Arcsinus. Dans le deuxième travail, on considère le cas où l'agrégat est formé par des marches aléatoires simples en dimension d > 1. On donne alors des résultats de convergence et de fluctuations sur la fonction odomètre introduite par Levine et Peres, qui compte en chaque point le nombre de passages des marches ayant formé l'agrégat. Dans le troisième travail, on s'intéresse au cas où l'agrégat est formé par des marches aléatoires multidimensionnelles qui ne sont pas centrées. On montre que sous une normalisation appropriée, l'agrégat converge vers une forme limite qui s'identifie à une vraie boule de chaleur. Nous répondons ainsi à une question ouverte en analyse concernant l'existence d'une telle boule bornée. Le quatrième travail concerne le cas particulier où une borne intérieure est connue pour l'agrégat. On donne alors des conditions suffisantes sur le graphe ainsi que sur la nature de cette borne pour qu'elle implique une borne extérieure. Ce résultat est appliqué au cas de marches évoluant sur un amas de percolation par arêtes surcritique, complétant ainsi un résultat de Shellef.

This thesis contains four works on the Internal Diffusion Limited Aggregation model (iDLA), which is a growth model that recursively builds random sets. The first work is set in dimension 1 and studies the case where the random walks that build the aggregate evolve in a random environment. The normalised aggregate then does not converges towards a deterministic limiting shape as it is the case for simple random walks, but converges in law towards a segment that contains the origin and which extremal points follow the Arcsine law. In the second work, we consider the case where the aggregate is built by simple random walks in dimension d > 1. We give convergence and fluctuation results on the odometer function introduced by Levine and Peres, which counts at each point the number of visits of walkers throughout the construction of the aggregate. In the third work, we examine the case where the aggregate is built using multidimensional drifted random walks. We show that under a suitable normalisation, the aggregate converges towards a limiting shape which is identified as a true heat ball. We thus give an answer to an open question in analysis concerning the existence of such a bounded shape. The last work deals with the special case where an interior bound is known for the aggregate. We give a set of conditions on the graph and on the nature of this interior bound that are sufficient to imply an outer bound. This result is applied to the case of random walks on the supercritical bond percolation cluster, thus completing a result by Shellef.