Contrôle stochastique appliqué à la finance

par Ngoc-Minh Dang

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques appliquées

Sous la direction de Bruno Bouchard-Denize.

Soutenue en 2011

à Paris 9 .

mots clés

• Processus stochastiques
• Commande, Théorie de la
• Couverture (finances)
• Ordres de bourse

Résumé

Cette thèse traite des problèmes de trading optimal avec une approche de contrôle stochastique et se compose de quatre parties. On commence par une étude de l’impact du volume sur le prix. On introduit un modèle structurel en temps discret dont le changement de prix est dû aux impacts de tous les volumes, affaiblis par un facteur de decay. Dans un cadre continu, on obtient une condition nécessaire sur les stratégies minimisant un critère de type moyenne-variance, et on la résout numériquement. On propose ensuite un modèle générique permettant d’optimiser l’utilisation d’algorithmes de trading. En nous basant sur des techniques de contrôle impulsionnel, on modélise l’exécution d’un ordre par une séquence (τi,δi,Ei)i, où la i-ième slice est exécutée dans [τi,τi+δi] avec le paramètre Ei. On caractérise la fonction valeur comme solution de viscosité d’un système d’EDP. On fournit un schéma numérique et on prouve dont la convergence. L’approche est illustrée par un exemple numérique correspondant à un cas réel. On s’intéresse après à la notion d’évaluation d’option sur liquidation de book dans un modèle à facteur d’impact, pour lequel les notions habituelles d’évaluation par mesure risque neutre ne font plus sens. On commence par traiter un cadre abstrait qui généralise les travaux de Bouchard-Elie-Touzi (2008), puis on l’applique à l’évaluation de garanties de type VWAP. On établit finalement un résultat d’équivalence entre problèmes de cibles stochastiques et problèmes de contrôle optimal sous forme standard. On montre comment retrouver l’équation d’HJB à partir des équations obtenues par l’approche de cibles stochastiques

Titre traduit

Stochastic control and applications in finance

Résumé

This PhD thesis considers the optimal trading problem from the stochastic control approach and consists of four parts. In the first part, we begin with the study of the impacts generated by volumes on the price process. We introduce a structural model in which price movements are due to not only the last trade’s volume but also to those of earlier trades, weakened by a decay factor. Considering a similar continuous version, we provide a condition ensuring the optimality of a strategy for the minimization of the execution cost in a mean-variance framework, and solve it numerically. In the second part, we propose a general model to optimize the way trading algorithms are used. Using an impulse control approach, we model the execution of a large order by a sequence (τi,δi,Ei)i, which is defined so that the i-th slice is executed in [τi,τi+δi] with parameter Ei. We characterize the value function as a viscosity solution of a system of PDE. We provide a numerical scheme and prove its convergence. Numerical illustrations are given for a real case. We deal with the problem of pricing an option on the book liquidation in presence of impact where the classical pricing by neutral risk measure fails. We begin with an abstract model generalized from the work of Bouchard- Eile-Touzi (2008), and then apply to compute the price of a VWAP guaranteed contract. We establish in the last part an equivalence result between stochastic target problems and standard optimal control. We derive the classical HJB equation from the PDE obtained in the stochastic target framework