Equations de transport-fragmentation et applications aux maladies à prions

par Pierre Gabriel

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Benoît Perthame et de Marie Doumic.

Soutenue en 2011

à Paris 6 .

mots clés

• Infections à prions -- Modèles mathématiques
• Biomathématiques

Résumé

Les phénomènes de croissance et de fragmentation des polymères jouent un rôle central dans le développement des maladies à prions. Pour les étudier, nous adoptons le formalisme des populations structurées et analysons l'équation intégro-différentielle de transport-fragmentation. Dans un premier temps, nous nous intéressons au problème aux valeurs propres pour l'opérateur de transport-fragmentation linéaire. Nous montrons l'existence et l'unicité de la valeur propre principale et des vecteurs propres associés sous des conditions générales incluant les cas dégénérés dans lesquels le coefficient de transport s'annule à l'origine. Nous analysons ensuite la dépendance de ces éléments propres par rapport aux paramètres de l'équation et mettons en évidence l'existence de comportements non monotones. Les résultats obtenus nous permettent d'aborder deux problèmes de natures différentes. La dépendance par rapport au transport est utilisée pour trouver les états d'équilibres et analyser le comportement en temps long de modèles non-linéaires, dont « l'équation du prion ». La dépendance par rapport à la fragmentation nous permet quant à elle d'étudier un problème d'optimisation. Celui-ci consiste à introduire un contrôle sur la fragmentation et à trouver la stratégie qui maximise la croissance de la population, ceci à des fins diagnostiques. Dans un dernier chapitre, nous présentons un schéma numérique conservatif pour des équations d'agrégation-fragmentation comprenant un terme de coagulation.

Titre traduit

Transport-fragmentation equations and applications to prion diseases

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