Applications de décompositions tensorielles à l'identification de modèles de Volterra et aux systèmes de communication MIMO-CDMA

par Thomas Bouilloc

Thèse de doctorat en Automatique, traitement du signal et des images

Sous la direction de Gérard Favier et de Pierre Comon.

Soutenue en 2011

à Nice .

mots clés

• Parafac
• Calcul tensoriel
• Volterra, Équations de
• Systèmes non linéaires
• Systèmes à entrées multiples et à sorties multiples
• Accès multiple par différence de code

Résumé

Les décompositions tensorielles font l’objet d’intérêts croissants, dans de nombreux domaines d’application, notamment le traitement du signal, depuis plusieurs années. Ce succès s’explique par la nature multidimensionnelle des données à traiter, comme c’est le cas par exemple, pour les signaux émis et reçus dans les systèmes de communication sans fil. Ce succès croissant s’explique également par les propriétés mathématiques que présentent les outils tensoriels, notamment en termes d’unicité. Dans une première partie, nous abordons les opérations et modèles tensoriels requis pour les présents travaux de thèse. Dans une seconde partie, nous traitons de nouvelles méthodes permettant de réduire la complexité paramétrique des modèles de Volterra complexes. En considérant les noyaux de Volterra d’ordre supérieur à un comme des tenseurs symétriques, nous utilisons plusieurs décompositions tensorielles pour réduire considérablement la complexité paramétrique des noyaux. Une étude comparative, par l’intermédiaire de simulations de Monte Carlo, évalue les performances des algorithmes mis en œuvre en termes de précision, de complexité, et de sensibilité au bruit. Par la suite, en considérant les noyaux de Volterra d’ordre supérieur à un comme des tenseurs symétriques, nous utilisons la décomposition CP/PARAFAC pour formuler les modèles de Volterra-PARAFAC, qui impliquent une réduction de complexité paramétrique considérable. Nous montrons que ces modèles peuvent être vus comme une série de modèles de Wiener mis en parallèle. Finalement, nous proposons trois méthodes d’identification récursives : le filtre de Kalman étendu complexe (ECKF), l’algorithme des moindres carrés moyens complexe (CLMS), puis sa version normalisée (NCLMS). Des résultats de simulation de Monte Carlo sont présentés pour illustrer les performances des algorithmes d’estimation proposés dans le cas de systèmes de Volterra complexes cubiques excités par des signaux de communication PSK. Nous étendrons les résultats précédents au cas des modèles de Volterra passe-bande, utilisés pour la modélisation de canaux non linéaires. Ainsi, nous développons une nouvelle classe de modèles de Volterra, appelés modèles de Volterra-PARAFAC passe-bande, de complexité paramétrique réduite, en faisant appel à une décomposition CP/PARAFAC doublement symétrique des noyaux de Volterra. Des algorithmes adaptatifs similaires au cas des modèles de Volterra-PARAFAC sont proposés pour l’estimation paramétrique des modèles de Volterra-PARAFAC passe-bande. Des résultats de simulation illustrent le comportement des méthodes d’identification proposées. Dans un premier temps, nous considérons un système de communication coopératif, en supposant que les matrices de code des utilisateurs sont mutuellement orthogonales et connues à la réception. Cette hypothèse nous permet de séparer et décoder simultanément les signaux des utilisateurs, ce qui nous amène à considérer deux approches : une approche semi-aveugle avec estimation du canal durant une phase d’apprentissage, suivie d’une récupération des symboles pour chaque utilisateur, pendant une phase aveugle ; une approche aveugle, caractérisée par une seule phase, qui estime de manière conjointe le canal et des symboles, pour chaque utilisateur. Des résultats de simulation sont fournis pour illustrer les performances des récepteurs aveugles et semi-aveugles. Nous considérons également le cas de figure où les matrices de code des utilisateurs sont inconnues à la réception. Ainsi nous proposons une approche semi-aveugle avec une phase d’apprentissage qui estime conjointement les matrices de code et de canal des utilisateurs, suivie d’une phase aveugle qui récupère leurs symboles.

Titre traduit

Tensor decomposition applications to Volterra models identification and MIMO-CDMA communication systems

Résumé

This thesis concerns both the theoretical and constructive resolution of inverse problems for isotropic diffusion equation in planar domains, simply and doubly connected. From partial Cauchy boundary data (potential, flux), we look for those quantities on the remaining part of the boundary, where no information is available, as well as inside the domain. The proposed approach proceed by considering solutions to the diffusion equation as real parts of complex valued solutions to some conjugated Beltrami equation. These particular generalized analytic functions allow to introduce Hardy classes, where the inverse problems is stated as a best constrained approximation issue (bounded extremal problem), and thereby is regularized. Hence, existence and smoothness properties, together with density results of traces on the boundary, ensure well-posedness. An application is studied, to a free boundary problem for magnetically confined plasma in the tokamak Tore Supra (CEA-IRFM Caldarache). The resolution of the approximation problem on a suitable basis of functions (toroidal harmonics) lead to a qualification criterion for the estimated plasma boundary. A descent algorithm makes it decrease, and refines the estimations. The methods do not require any integration of the solution in the overall domain. It furnishes very accurate numerical results, and could be extended to other devices, like JET ou ITER.