Second order analysis of optimal control problems with singular arcs : optimality conditions and shooting algorithm

par Maria-Soledad Aronna

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Frédéric Bonnans.

Soutenue en 2011

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

Le président du jury était Jean-Baptiste Caillau.

Le jury était composé de Helmut Maurer.

Les rapporteurs étaient Emmanuel Trélat, Urszula Ledzewicz.

mots clés

• Commande, Théorie de la
• Stabilité

Titre traduit

Analyse du second ordre des problèmes de commande optimale avec des arcs singuliers. Conditions d'optimalité et un algorithme de tir

Résumé

Dans cette thèse on s'intéresse aux problèmes de commande optimale pour des systèmes affines dans une partie de la commande. Premièrement, on donne une condition nécessaire du second ordre pour le cas ou le système est affine dans toutes les commandes. On a des bornes sur les contrôles et une solution bang-singulière. Une condition suffisante est donnée pour le cas d'une commande scalaire. On propose après un algorithme de tir et une condition suffisante pour sa convergence quadratique locale. Cette condition garantit la stabilité de la solution optimale et implique que l'algorithme converge quadratiquement localement pour le problème perturbé, dans certains cas. On présente des essais numériques qui valident notre méthode. Ensuite, on étudie un système affine dans une partie des commandes. On obtient des conditions nécessaire et suffisante du second ordre. Ensuite, on propose un algorithme de tir et on montre que la condition suffisante mentionnée garantit que cet algorithme converge quadratiquement localement. Enfi n, on étudie un problème de plani cation d'une centrale hydro-thermique. On analyse au moyen des conditions nécessaires obtenues par Goh, la possible apparition d'arcs singuliers

Résumé

This thesis deals with optimal control problems for systems that are affine in one part of the control variable. First, we state necessary and sufficient second order conditions when all control variables enter linearly. We have bound control constraints and a bang-singular solution. The sufficient condition is restricted to the scalar control case. We propose a shooting algorithm and provide a sufficient condition for its local quadratic convergence. This condition guarantees the stability of the optimal solution and the local quadratic convergence of the algorithm for the perturbed problem in some cases. We present numerical tests that validate our method. Afterwards, we investigate an optimal control problems with systems that are affine in one part of the control variable. We obtain second order necessary and sufficient conditions for optimality. We propose a shooting algorithm, and we show that the sufficient condition just mentioned is also sufficient for the local quadratic convergence. Finally, we study a model of optimal hydrothermal scheduling. We investigate, by means of necessary conditions due to Goh, the possible occurrence of a singular arc.