Distributions quasi-stationnaires et méthodes particulaires pour l'approximation de processus conditionnés

par Denis Villemonais

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Sylvie Méléard.

Soutenue en 2011

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

mots clés

• Processus conditionnés
• Propriétés de mélange
• Méthode d'approximation particulaire
• Systèmes de particules en interaction
• Distributions quasi-stationnaires

Résumé

Ma thèse porte sur l'étude de la distribution de processus stochastiques avec absorption et leur approximation. Ces processus trouvent des applications dans de nombreux domaines, tels que l'écologie, la finance ou les études de fiabilité. Nous étudions en particulier l'évolution en temps long de la distribution de processus de Markov avec absorption. La distribution limite d'un processus conditionné à ne pas être éteint au moment où on l'observe permet de décrire et d'expliquer des comportements non-triviaux, comme les plateaux de mortalité. Lorsqu'une telle distribution existe, elle est appelée distribution quasi-stationnaire. Dans le premier chapitre, nous rappelons et démontrons en toute généralités des propriétés propres à ces distributions. Dans les chapitres suivants, nous démontrons dans une grande généralité une méthode particulaire d'approximation des distributions de processus de Markov conditionnés à ne pas être absorbés et de leur limite distribution quasi-stationnaire. Des programmes en C++ ont été écrits afin d'implémenter numériquement l'approximation particulaire de distribution quasi-stationnaires de processus provenant de modèles biologiques, tels que les diffusions de Wright-Fisher et les diffusions de Lotka-Volterra. La méthode d'approximation démontrée dans cette thèse associée à des méthodes de couplage nous permet également d'obtenir des nouveaux résultats d'existence et d'unicité de distributions quasi-stationnaires, ainsi que de démontrer des propriétés de mélanges nouvelles pour les diffusions conditionnées à ne pas sortir d'un ouvert borné

Titre traduit

Quasi-stationary distributions and particular methods for the approximation of conditioned processes

Résumé

My PhD thesis focuses on the study of the distributions of stochastic processes with absorption and their approximation. This processes are commonly used in a large area of applications in ecology, finance or reliability studies. In particular, we study the long term evolution of the distribution of Markov processes with absorption. Non-trivial behaviors, like mortality plateaus, can be described and explained by the limiting distribution of a process conditioned not to be absorbed when it is observed. When such a limiting distribution exists, it is called a quasi-stationary distribution. In the first chapter, we recall and prove in all generality some specific properties of these distributions. In the following chapters, we prove in a great generality an approximation method based on particle systems in order to approximate the distribution of conditioned Markov processes and their quasi-stationary distributions. Programs written in C++ during my thesis allow us to present a numerical implementation of this approximation method for biological models, like the Wright-Fisher diffusion process or the Lotka-Volterra diffusion processes. The approximation method proved in this thesis associated with coupling technics allows us to obtain new results of existence and uniqueness of quasi-stationnary distributions. Moreover, we show some mixing properties for diffusion processes conditioned to remain in a bounded open subset