Calculs vérifiés en algèbre homologique

Verified computing in homological algebra

• Auteur / Autrice : Arnaud Spiwack
• Direction : Benjamin Werner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homologie

Classes sociales

Mots clés libres

Démonstration formelle

Preuve formelle

Coq

Résumé

L'objet de cette thèse est d'étudier les capacités du système Coq à mélanger démonstrations et programmes en pratique en essayant d'y implémenter une part du programme Kenzo, un outil de calcul formel en algèbre homologique. À cet effet, nous travaillons sous trois contrainte: nous voulons essayer de lire le programme comme une démonstration avec un contenu calculatoire, ces démonstrations doivent calculer efficacement et nous cherchons à éviter de dupliquer des morceaux de démonstration. Nous montrons dans un premier temps comment le soucis d'efficacité conduit à reconsidérer certains aspects des mathématiques traditionnelle. Nous proposons une abstraction catégorielle adaptée, qui répond à la fois à un soucis de clareté et au besoin de partager les démonstration quand c'est possible. Cette abstraction, bien que différente des propositions traditionnelles, permet de formuler les notions d'algèbre homologique dans un style proche de celui de Kenzo. Nous proposons par ailleurs des modifications au programme de Coq pour rendre les démonstrations plus confortables, et pour permettre d'écrire des programmes plus efficaces. La première modification permet d'utiliser des tactiques plus fines, souvent nécessaire quand l'utilisation des types dépendents se fait commune. La seconde permet d'utiliser les capacité du processeur pour faire des calculs plus efficaces sur des entiers. Pour finir nous proposons quelques pistes pour améliorer le partage et la clareté du code. Malheureusement, nous nous heurtons aux limites du système. Nous montrons ainsi que Coq ne tiens pas forcément ses promesses et qu'il y aura besoin de travaux théoriques pour comprendre comment lever ces limites.

The object of this thesis is the study of the ability of the Coq system to mix proofs and programs in practice. Our approach consists in implementing part of the program Kenzo, a computer algebra tool for homological algebra under some constraint. We want to be able to read the program as a proof with a computational content, these proofs much compute efficiently, and we try to avoid duplication of proofs or part thereof. We show, first, how the requirement of efficiency leads to revise some aspects of traditional mathematics. We propose a suitable categorical abstraction, both for clarity and to avoid duplications. This abstraction, though different from what is customary in mathematics, allow to formulate the constructs of homological algebra in a style much like that of Kenzo. We propose, then, modifications to the Coq programm. A first one to make proofs more convenient, by allowing the use of more fine grain tactics which are often necessary when dependent types are common. The second modification to leverage the arithmetical abilities of the processor to compute more efficiently on integers. Finally, we propose some leads to improve both sharing and clarity of the proofs. Unfortunately, they push the system beyond its limits. Hence, we show that Coq is not always up to its promises and that theoretical works will be necessary to understand how these limits can be relaxed.