Étude de classes de noyaux adaptées à la simplification et à l’interprétation des modèles d’approximation. Une approche fonctionnelle et probabiliste.

Covariance kernels for simplified and interpretable modeling. A functional and probabilistic approach.

• Auteur / Autrice : Nicolas Durrande
• Direction : Laurent Carraro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/11/2011
• Etablissement(s) : Saint-Etienne, EMSE
• Ecole(s) doctorale(s) : ED SIS 488
• Jury : Président / Présidente : Yves Grandvalet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Carraro, Yves Grandvalet, Henry P. Wynn, Béatrice Laurent, Olivier Roustant, Rodolphe Le Riche, David Ginsbourger, Alberto Pasani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Henry P. Wynn, Béatrice Laurent

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions (mathématiques)

Représentation parcimonieuse

Sensibilité, Théorie de la (mathématiques)

Processus gaussiens

Mots clés libres

Méthodes d’approximation à noyaux

Krigeage

Processus gaussiens

RKHS

ANOVA

Analyse de sensibilité

Modèles parcimonieux

Kernel base interpolation

Kriging

Gaussian processes

RKHS

ANOVA

Sensitivity analysis

Sparse models

Résumé

Le thème général de cette thèse est celui de la construction de modèles permettantd’approximer une fonction f lorsque la valeur de f(x) est connue pour un certainnombre de points x. Les modèles considérés ici, souvent appelés modèles de krigeage,peuvent être abordés suivant deux points de vue : celui de l’approximation dans les espacesde Hilbert à noyaux reproduisants ou celui du conditionnement de processus gaussiens.Lorsque l’on souhaite modéliser une fonction dépendant d’une dizaine de variables, lenombre de points nécessaires pour la construction du modèle devient très important etles modèles obtenus sont difficilement interprétables. A partir de ce constat, nous avonscherché à construire des modèles simplifié en travaillant sur un objet clef des modèles dekrigeage : le noyau. Plus précisement, les approches suivantes sont étudiées : l’utilisation denoyaux additifs pour la construction de modèles additifs et la décomposition des noyauxusuels en sous-noyaux pour la construction de modèles parcimonieux. Pour finir, nousproposons une classe de noyaux qui est naturellement adaptée à la représentation ANOVAdes modèles associés et à l’analyse de sensibilité globale.

The framework of this thesis is the approximation of functions for which thevalue is known at limited number of points. More precisely, we consider here the so-calledkriging models from two points of view : the approximation in reproducing kernel Hilbertspaces and the Gaussian Process regression.When the function to approximate depends on many variables, the required numberof points can become very large and the interpretation of the obtained models remainsdifficult because the model is still a high-dimensional function. In light of those remarks,the main part of our work adresses the issue of simplified models by studying a key conceptof kriging models, the kernel. More precisely, the following aspects are adressed: additivekernels for additive models and kernel decomposition for sparse modeling. Finally, wepropose a class of kernels that is well suited for functional ANOVA representation andglobal sensitivity analysis.