Thèse soutenue

Approche spectrale pour l’interpolation à noyaux et positivité conditionnelle
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Auteur / Autrice : Bertrand Gauthier
Direction : Laurent Carraro
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 12/07/2011
Etablissement(s) : Saint-Etienne, EMSE
Ecole(s) doctorale(s) : ED SIS 488
Jury : Président / Présidente : Mario Paul Ahues Blanchait
Examinateurs / Examinatrices : Francis Bach, Xavier Bay
Rapporteurs / Rapporteuses : Stéphane Canu, Fabrice Gamboa

Résumé

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Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.