Thèse soutenue

Flots quasi-invariants associés aux champs de vecteur non réguliers
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Auteur / Autrice : Huaiqian Lee
Direction : Shizan FangFengyu Wang
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 28/04/2011
Etablissement(s) : Dijon en cotutelle avec Beijing Normal University
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot (Dijon ; .....-2012)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
Jury : Président / Présidente : Anton Thalmaier
Rapporteurs / Rapporteuses : Anton Thalmaier, Marc Arnaudon

Résumé

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La thèse est composée de deux parties.Dans la première partie, nous allons étudier le flot quasi-invariant défini par une équation différentielle stochastique de Stratanovich avec le dérive ayant seulement la BV-régularitésur un espace euclidien, en généralisant des résultats de L. Ambrosio sur l'existence,unicité et stabilité des flots lagrangiens associés aux équations différentielles ordinaires[Invent. Math. 158 (2004), 227{260]. Comme une application d'un résultat de stabilité,nous allons construire une solution explicite à l'equation de transport stochastique enterme de flot stochastique. La différentiabilité approximative du flot sera aussi investie,lorsque le dérive possµede une régularité de Sobolev.Dans la deuxième partie, nous allons généraliser la théorie de DiPerna-Lions aux cas desvariétés riemanniennes complètes. Nous allons utiliser le semi-groupe de la chaleur pourrégulariser des fonctions et des champs de vecteur. L'estimation sur le commutateur seraobtenue par la méthode probabiliste. Une application de cette estimation est de prouverl'unicité des solutions à l'équation de transport à l'aide du concept des solutions renormal-isables. L'équation différentielle ordinaire associée à un champ de vecteur de régularité deSobolev sera enfin résolue en adoptant une méhode due à L. Ambrosio. La fin de cett par-tie consacre à la construction des processus de diffusion, par la méthode de la variation deconstante, sur une variété riemannienne complète, ayant comme générateur, un opérateurelliptique contenant le dérive non-régulier. Pour cela, nous allons donner des conditionssur la courbure pour que le flot horizontal canonique soit un flot de difféomorphismes