Backward stochastic differential equations, G-expectations and related topics

• Auteur / Autrice : Qian Lin
• Direction : Rainer Buckdahn
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Brest

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles paraboliques

Équations différentielles stochastiques

Mots clés libres

Équations différentielles stochastiques rétrogrades

G-espérances

Jeux differentials stochastiques

Paiements d’équilibre de Nash

G-mouvement brownien

Formule de Tanaka

Équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades

Fonctionnels de coût

Résumé

Nous avons d’abord étudié les paiements d’équilibre de Nash pour les jeux différentiels stochastiques avec des fonctionnels de coût non-linéaires. J’ai obtenu un théorème d’existence et un théorème de caractérisation des paiements d’équilibre de Nash. Les résultats obtenus étendent ceux de Buckdahn, Cardaliaguet et Rainer (2004). La généralisation concerne les aspects suivants: Premièrement, nos fonctionnels de coût sont définis par des équations différentielles stochastiques rétrogrades contrôlées, et les processus de contrôles admissibles peuvent dépendre des événements survenus avant le début du jeux. Alors, nos fonctionnels de coût ne sont pas nécessairement déterministes. Deuxièmement, puisque nos fonctionnels de coût sont non-linéaires et peuvent être couplées, je n’ai pu appliquer les méthodes utilisées dans Buckdahn, Cardaliaguet et Rainer. A la place j’ai utilisé la notion de semigroupes stochastiques rétrogrades et la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades. J’ai étudié également des problèmes sur la G-ésperance, dont la notion de temps local, et j’ai obtenu la formule de Tanaka pour le G-mouvement brownien ainsi que la continuité conjointe du temps local du G-mouvement brownien. En plus, j’ai obtenu une représentation des G-martingales symétriques comme intégrales stochastiques par rapport à un G- mouvement brownien, ce qui généralise le théorème de caractérisation de martingales pour le G-mouvement brownien établi par Xu. Enfin, je me suis intéressé aux équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades unidimensionnelles avec coefficients non lipschitziens pour lesquelles j’ai obtenu un résultat d’existence.

We first study Nash equilibrium payoffs for nonzero sum stochastic differential games with nonlinear cost functionals. We obtain an existence theorem and a characterization theorem for Nash equilibria. The obtained results extend former ones by Buckdahn, Cardaliaguet ami Rainer (2004). The generalization concerns the following aspects: Firstly, our cost functionals are defined by controlled backward stochastic differential equations, and the admissible control processes depend on events occurring before the beginning of the stochastic differential game. Thus, our cost functionals are not necessarily deterministic. Secondly, since our cost functionals are nonlinear and can be coupled, we cannot apply the methods used in Buckdahn, Cardaliaguet and Rainer. We make use of the notion of stochastic backward and the theory of backward stochastic differential equations. I’ve also been studying selected problems of G-expectations, among them the notion of local time for which I’ve obtained the Tanaka formula for the G-Brownian motion as well as the joint continuity of the local time of the G-Brownian motion. Moreover, I’ve derived a representation of G-martingales as stochastic integrals with respect to G-Brownian motion, which generalizes the martingale characterization theorem for G-Brownian motion established by Xu. Finally, I also have studied one-dimensional backward doubly stochastic differential equations with non-Lipschitz coefficient for which I get an existence result.