Spanners pour des réseaux géométriques et plongements dans le plan

• Auteur / Autrice : Nicolas Catusse
• Direction : Victor Chepoi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 09/12/2011
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Equipe Biomathématiques et informatique médicale (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Stéphan Thomassé
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Victor Chepoi, Stéphan Thomassé, Alexander Wolff, Cristina Bazgan, Yann Vaxès, Eric Colin de Verdière, Karim Nouioua
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexander Wolff, Cristina Bazgan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Plongements (mathématiques)

Algorithmes d'approximation

Géométrie algorithmique

Mots clés libres

Géométrie algorithmique

Algorithme d'approximation

Distance

Plan normé

Plongement isométrique

Conception de réseau

Computational geometry

Approximation algorithm

Distance

Normed plan

Isometric embedding

Network design

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à plusieurs problèmes liés à la conception de réseaux géométriques et aux plongements isométriques dans le plan.Nous commençons par étudier la généralisation du problème du réseau de Manhattan classique aux plans normés. Étant donné un ensemble de terminaux, nous recherchons le réseau de longueur totale minimum qui connecte chaque paire de terminaux par un plus court chemin dans la métrique définie par la norme. Nous proposons un algorithme d'approximation facteur 2.5 pour ce problème en temps O(mn^3) avec n le nombre de terminaux et m le nombre de directions de la boule unitaire. Le deuxième problème étudié est une version orientée des réseaux de Manhattan dont le but est de construire un réseau orienté de taille minimum dans lequel pour chaque paire de terminaux u, v est relié par un plus court chemin rectilinéaire de u vers v et un autre de v vers u. Nous proposons un algorithme d'approximation facteur 2 pour ce problème en temps O(n^3) où n est le nombre de terminaux.Nous nous intéressons ensuite à la recherche d'un spanner (un sous-graphe approximant les distances) planaire pour les graphes de disques unitaires (UDG) qui modélise les réseaux ad hoc sans fils. Nous présentons un algorithme qui construit un spanner planaire avec un facteur d'étirement constant en terme de distance de graphe pour UDG. Cet algorithme utilise uniquement des propriétés locales et peut donc être implémenté de manière distribuée.Finalement nous étudions le problème de la reconnaissance des espaces plongeables isométriquement dans le plan l_1 pour lequel nous proposons un algorithme en temps optimal O(n^2) pour sa résolution, ainsi que la généralisation de ce problème aux plans normés dont la boule unitaire est un polygone convexe central symétrique.

In this thesis, we study several problems related to the design of geometric networks and isometric embeddings into the plane.We start by considering the generalization of the classical Minimum Manhattan Network problem to all normed planes. We search the minimum network that connects each pair of terminals by a shortest path in this norm. We propose a factor 2.5 approximation algorithm in time O(mn^3), where n is the number of terminals and m is the number of directions of the unit ball.The second problem presented is an oriented version of the minumum Manhattan Network problem, we want to obtain a minimum oriented network such that for each pair u, v of terminals, there is a shortest rectilinear path from u to v and another path from v to u.We describe a factor 2 approximation algorithm with complexity O(n^3) where n is the number of terminals for this problem.Then we study the problem of finding a planar spanner (a subgraph which approximates the distances) of the Unit Disk Graph (UDG) which is used to modelize wireless ad hoc networks. We present an algorithm for computing a constant hop stretch factor planar spanner for all UDG. This algorithm uses only local properties and it can be implemented in distributed manner.Finally, we study the problem of recognizing metric spaces that can be isometrically embbed into the rectilinear plane and we provide an optimal time O(n^2) algorithm to solve this problem. We also study the generalization of this problem to all normed planes whose unit ball is a centrally symmetric convex polygon.